Minimi e massimi relativi di f(x;y;z)

NameNick321

Giulio_M Presumo però che il docente voglia un procedimento rigoroso

Esatto, non vorrebbe mai e poi mai un procedimento del genere. Ma oltretutto credo sia inconcludente dato che parliamo di minimi e massimi RELATIVI e non ASSOLUTI. Quindi non ho capito che senso avrebbe sostituire altri valori a casaccio. Dopo che li sostituisco e ottengo vari numeri non potrei concludere nulla. Se fosse ipoteticamente massimo assoluto e tutti gli altri valori vengono quindi minori ok, ma qui parliamo di relativo. Ma non basterebbe comunque perché anche se provassi con 10000 punti diversi e questi vengono tutti minori chi mi garantisce che anche il 10001 sia anche minore? Essendo una funzione di dominio R² dovrei provare infiniti valori e ovviamente non posso.

NameNick321

NameNick321 oltrettutto sono valori con esponenziali ecc quindi non è neppure facile stabilire chi è minore e maggiore senza calcolatrice che ovviamente non si può usare durante l’esame.

Giulio_M

NameNick321 beh certo, ma relativi o assoluti, una volta che hai la lista di punti stazionari (in questo caso ne hai uno solo) li individui sostituendo i valori nella funzione, quindi su questo sarebbe ok. Un punto di massimo o minimo assoluto sarebbe pur sempre un punto stazionario. L'unica eventualità è che non sia divergente (±infinito).
In ogni caso, operare con la matrice Hessiana è la procedura rigorosa da seguire, non vedo alternative.

NameNick321

Giulio_M Nota che tu dici "con due dimensioni si riesce a disegnare, con tre no". Certo, però analisi 2 è valida nel caso generale di N-variabili, quindi la matrice Hessiana può essere una matrice NxN, per definizione è cos

Ma infatti non parlavo della matrice ma parlavo di grafico di [f(x;y)-f(x0;y0) ]>=0 procedura da attuare nel caso in cui l’hessiano sia 0 e dunque inconcludente per la classificazione. si studia il segno in un intorno dello stazionario e se il grafico della funzione è +++ costante in ogni intorno allora il punto è di minimo vincerla di massimo. Se + e - si alternano allora è di sella. Ma per questa procedura serve il grafico di f(x;y;z) - f(x0;y0;z0) e quando siamo a 3 variabili è sostanzialmente impossibile da attuare questa procedura.

NameNick321

Giulio_M Un punto di massimo o minimo assoluto sarebbe pur sempre un punto stazionario

La consegna richiede RELATIVI, non ASSOLUTI. Ergo sostituire altri punti a caso non è fattibile

NameNick321

Giulio_M ma invece se creassi la matrice Hessiana del solo esponente??? Mi è stato detto che potrebbe essere equivalente per questo caso ma non so se crederci

Giulio_M

NameNick321 diciamo che la funzione esponenziale è sempre positiva, però non è detto che le derivate (quindi del tipo f(x)=e^z(x), f'(x)=(e^z)(dz/dx)) abbiano poi lo stesso comportamento, a causa del prodotto che ne deriva. Quindi anche se l'esponenziale è sempre positivo, poi per la natura dei punti critici, in generale direi meglio tenere la funzione completa (altrimenti rischi che in alcuni casi sia equivalente, in altri magari no ovvero stai sbagliando).
Onestamente così ad occhio non so dire in quali casi possa essere equivalente, quindi nel dubbio - se non sei sicuro di come si possa semplificare - per non fare errori meglio se lo tieni completo, anche se è più laborioso nei conti.

NameNick321

Giulio_M ho provato a fare le derivate complete di tutto ma viene troppo complicato e ci vuole tantissimo tempo. In un compito di 2 ore non è fattibile. Mi è stato detto che si può considerare l’esponente senza la “e” e dunque fare la matrice Hessiana di quello lì, che viene molto più semplicemente, per le proprietà delle funzioni composte. Bah da un lato spero sia così , dall’altro no perché non saprei come giustificare a parole e in simboli il fatto della composizione di funzioni.

Giulio_M

NameNick321 Mi è stato detto che si può considerare l’esponente senza la “e” e dunque fare la matrice Hessiana di quello lì, che viene molto più semplicemente, per le proprietà delle funzioni composte

Beh guarda, se funziona ok, onestamente non avendone più pratica, non ho l' "occhio" per dire se sia equivalente o meno (magari fai delle prove). Di sicuro l'esponenziale è funzione sempre positiva quindi nello studio dei segni delle derivate, puoi tralasciare l'esponenziale appunto e studiare solo la derivata dell'argomento: questa è l'unica cosa che possiamo dire con certezza, sul resto eventualmente (se è tutto equivalente) fai delle prove.

NameNick321

Giulio_M sul resto eventualmente (se è tutto equivalente) fai delle prove.

E come faccio? Non ho le soluzioni quindi non cosa sia giusto e cosa sbagliato

Giulio_M

NameNick321 intendo dire, calcoli es. la matrice Hessiana con la funzione esponenziale completa e poi solo con l'esponente, vedi se ti torna, se coincidono nei due casi eventuali massimi, minimi, punti di sella.

NameNick321

Giulio_M il problema è creare la matrice hessiana completa di quella con la “e”. È molto complicata