NameNick321 ben incasinato!
Diciamo, forse quello che puoi fare e aiuta un po' le cose è separare meglio le variabili ovvero:
f(x,y,z) = ex2 * ey2 * e3xz+yz * e-10x
In questo modo quando esegui le derivate parziali, dove non hai la variabile lo tratti come una costante, quindi fai più velocemente (se invece lasci tutto ad esponente può esser eun po' più laborioso anche se ovviamente è equivalente).
Per il resto, in modo analogo al caso f(x;y) = |x-y|(x2 + y2 -1), se hai trovato un unico punto stazionario anziché calcolare la matrice Hessiana puoi direttamente sostituire i valori, f(x,y,z) e se è un minimo o massimo lo verifichi sostituendo un altro punto arbitrario es. f(0,0,0). Diciamo che per verificare massimo/minimo puoi procedere così, se invece è un punto di sella la starda rigorosa è procedere tramite matrice Hessiana (salvo sostituire due punti, in uno cresce e nell'altro diminuisce, stai però procedendo per via empirica, diciamo "a tentoni"). Quindi in linea di massima, potresti procedere per via empirica, sostituendo un paio di punti e fare il contronto. Presumo però che il docente voglia un procedimento rigoroso e quindi la strada è quella di procedere tramite la matrice Hessiana, anche se con questa funzione diventa laborioso come conti.
Nota che tu dici "con due dimensioni si riesce a disegnare, con tre no". Certo, però analisi 2 è valida nel caso generale di N-variabili, quindi la matrice Hessiana può essere una matrice NxN, per definizione è così. Non necessariamente devi riuscire a disegnare il grafico, avere un riscontro pratico o un'idea intuitiva, la validità generale matematica è questa.
