Esercizio analisi 2

NameNick321

f(x;y) = |x-y| * (x² + y² -1)
Trova punti di minimo, massimo relativi e sella.

Si riscrive come
Caso A) -(x-y) (x² + y² -1) se x-y<0
Caso B) (x-y) (x² + y² -1) se x-y>0

0 se y=x

Da quello che ricordo che ci ha detto il professore dobbiamo prima considerare separatamente il caso in cui è 0 con la bisettrice y=x quindi quella del I e III quadrante e verrà qualcosa come 2 punti che intersecano la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 e sono punti di sella (perché non sono né di Max né Min ???) e tutti gli altri punti della bisettrice invece sono punti non derivabili e quindi sempre da tenere in considerazione perché potrebbero essere di minimo e massimo relativi.
Poi vanno studiati i casi A) e B) dopo aver considerato il caso della bisettrice y=x
E ha detto che non va usato l’Hessiano ma bisogna fare il grafico e studiare f(x;y) - f(“x”; “y”) e vedere i casi in cui nel grafico c’è + e quelli in cui c’è meno e classificare i punti. Ma non ricordo sé questa cosa va fatta per i casi A) e B) oppure per il caso in cui la funzione fa 0 cioè se x=y

Riassumendo non ci ho capito nulla, so solo che va risolto disegnando il grafico e studiando il segno in base alle varie porzioni

NameNick321

NameNick321 @Giulio_M @zeunig356 @Matematico_risponde

Giulio_M

NameNick321 in modo analogo al caso f(x;y) = |x² - y²| (x+1):

studi il caso x>=y
studi il caso x<y

Quindi:

se x>=y: f(x,y) = (x-y)(x²+y²-1)
se x<y: f(x,y) = -(x-y)(x²+y²-1)

Calcoli le derivate parziali:

se x>=y:
- df/dx = 3x²+y²-1-2xy
- df/dy = 2xy-x²-3y²+1
se x<y:
- df/dx = -(3x²+y²-1-2xy)
- df/dy = -(2xy-x²-3y²+1)

Studi quindi gradiente=0 (analogamente all'esercizio f(x;y) = |x² - y²| (x+1), una o l'altra coppia è equivalente, dato che studi il caso uguale a zero). Quindi hai il sistema:

3x²+y²-1-2xy = 0
2xy-x²-3y²+1 = 0

Da cui ricavi x²=y², che sostituendo y=±x ottieni due equazioni:

2x²-x²-3x²+1=0 --> x=±1/√2
-2x²-x²-3x²+1=0 --> x=±1/√6
per entrambi poi hai y=±x quindi i punti sono:
- (1/√2;1/√2)
- (1/√2;-1/√2)
- (-1/√2;1/√2)
- (-1/√2;-1/√2)
- (1/√6;1/√6)
- (1/√6;-1/√6)
- (-1/√6;1/√6)
- (-1/√6;-1/√6)

Questi sono i punti stazionari. Per discriminare poi punti di minimo, massimo, sella, procedi con il calcolo delle derivate seconde e/o sostituisci i punti nella funzione f(x,y).