NameNick321 eccomi, non ho più molta pratica ma dovrei averlo risolto correttamente! Un po' complicata essendoci il valore assoluto, quindi, prima cosa diciamo questo:
- studi il caso x2 >= y2
- studi il caso x2 < y2
Quindi conviene che spezzi la funzione (come nei casi funzione definita a tratti):
- se x2 >= y2: f(x,y) = (x2-y2)(x+1)
- se x2 < y2: f(x,y) = -(x2-y2)(x+1)
Calcoli le derivate parziali:
- se x2 >= y2:
- df/dx = 3x2+2x-y2
- df/dy = -2y(x+1)
- se x2 < y2:
- df/dx = - (3x2+2x-y2)
- df/dy = +2y(x+1)
Dato che è uguale a zero, studiare il primo o il secondo sistema è equivalente (dato che l'unica differenza fra uno e l'altro è nel ±, quindi la forma ±qualcosa=0 li rende equivalenti).
Da ±2y(x+1)=0 risulta (y=0;x=-1), che però questa coppia di punti è al di fuori di Q = [0;1] x [0;1].
Dall'altra equazione invece ±(3x2+2x-y2)=0, ottieni y = ±√x * √3 * √(x+2/3), che eventualmente verifichi 0 < √x * √3 * √(x+2/3) < 1, la soluzione negativa l'ho già scartata, maggiore di zero necessariamente, studi il minore di 1, risulta x=1/3 e sostituendo nell'equazione (df/dx), ottieni y=±1, prendi solo y=1 (quindi (1/3;1)) vista la restrizione Q = [0;1] x [0;1]. Calcolo f(1/3;1)=32/27=1,185
Studio del comportamento ai bordi di Q = [0;1] x [0;1]:
- f(0,0)=0
- f(1,0)=2, è maggiore di 1,185 calcolato prima
- f(0,1)=1
- f(1,1)=0
Quindi in definitiva:
- massimo assoluto è 2, per f(1,0)
- minimo assoluto è 0, per f(x,x) ovvero quando x e y sono uguali quindi f(0,0) e f(1,1)
In modo analogo, con la stessa procedura, puoi risolvere la funzione f(x;y) = |x-y| * (x2 + y2 -1) (è la prima volta che linko direttamente una funzione matematica 😁)
