Come provare la convergenza con il confronto asintotico?

NameNick321

Oppure eventualmente si può provare con la convergenza assoluta?
Ad ogni modo non va provata calcolando l’ integrale col limite ecc. Va fatto ancora prima di cercare una primitiva ecc. il calcolo del valore va fatto solo SUCCESSIVAMENTE aver provato la convergenza.

@zeunig356

zeunig356

Se non ho sbagliato il calcolo a = 1/2
Per cui per n-> oo

il termine generale va come
n^1/2/(n³ *1/n^1/2) = 1/n²
Una p serie con p > 1
Converge assolutamente.
Non saranno così all'esame.

NameNick321

zeunig356 ??? Mi riferivo alla convergenza dell’integrale, non della serie. Ancora sono fermo agli integrali, le serie non le ho fatte. Avrei dovuto tagliare la foto prendendo solo la parte di sopra.

Poi in che senso “non saranno così all’esame”?

Giulio_M

NameNick321 ok, quindi in questo caso tu hai l'integrale improprio (fra 0 e infinito) di xe^-x², che puoi riscrivere come x/e^x².
Il comportamento asintotico significa x-->infinito, per la gerarchia di infiniti sai che un esponenziale (del tipo e^x, e^x² ancora di più) prevale su x quindi e^x² >> x, appunto per x-->infinito.
Quindi hai dimostrato la convergenza.
In alternativa, potresti anche dire che x/e^x² < 1/x², sempre per x-->infinito, dato che 1/x² è una serie convergente, allora hai convergenza.

NameNick321

Giulio_M

Scusa io so che per la convergenza, devo trovare una funzione g, asintotica alla “f integranda”, il cui integrale improprio sia uno di quelli notevoli che per definizione converge (ad esempio robe del tipo ha un esponente >1 o cose del genere) quindi se tale integrale converse (con g) allora converge anche quello iniziale (con f)

In questo caso f é x*e^-x²
Mentre g con l’Integrale notevole chi è ?

NameNick321

Giulio_M x/ex2 < 1/x2

Come si deduce questo?

NameNick321

Giulio_M cioè mi manca questo pezzo

NameNick321

Giulio_M alternativa, potresti anche dire che x/ex2 < 1/x2, sempre per x-->infinito, dato che 1/x2 è una serie convergente, allora hai convergenza.

Ma penso che anche questo modo vada bene però come faccio a essere sicuro che quella uguaglianza valga sempre?

NameNick321

NameNick321 è un integrale convergente*

Non so perche ho scritto serie

Giulio_M

NameNick321 ah, ho capito. Allora in questo caso se devi trovare una funzione g(x) (e non semplciemente dire che è minore di 1/x² la quale converge e quindi converge, sarebbe il criterio del confronto semplice, non asintotico), puoi linearizzare (Taylor-Mclaurin che ti paice molto 😅 ).

Ovvero parti da x-->infinito quindi y-->0.
Sviluppi in serie: e^x = 1 + x + x²/2 + O(x³)

Sostituendo x=1/y, hai:
g(y) = (1/y) * 1/(1+1/y+1/(2y²)), che alla fine diventa 2y²/y = 2y, se y-->0 (dato che x-->infinito e y=1/x) risulta quindi zero, appunto converge. Quindi se hai bisogno di una g(x) asintotica, è questa. Ovviamente io l'ho scritta coem g(y), se la trasformi in g(x) hai: g(x) = x * 1/(1+x + x²/2 + O(x³)), se vuoi metterci il termine O(x³) che formalmente sarebbe corretto, indica che hai linearizzato. Anche in questo caso, vedendo g(x), per x-->infinito vedi subito il termine che prevale (hai solo x a numeratore mentre x² prevale a denominatore) e quindi tende a zero.

NameNick321

Giulio_M dato che c’è “ ~ “ è confronto asintotico non semplice. Quello semplice dovrebbe essere quello che hai fatto con 1/x²

Giulio_M

NameNick321 beh, a seconda del caso in questione, ne devi prendere una che sia asintotica (circa "uguale" consentimi di dire, ad esempio linearizzando come avevo fatto con l'esponenziale, vedi Giulio_M) oppure anche sicuramente minore, in modo da poter quindi dire f<g. Quindi dipende caso per caso, non c'è una regola generale... E anche la funzione che scegli, potrebbe quindi essere diversa ma andare lo stesso bene.
Esempio, anche ad esempio f(x)=cos(x)/x², hai cos(x) che oscilla sempre, comunque sia varia fra -1 e 1 (volendo se poi applichi la convergenza assoluta, varia fra 0 e 1) quindi puoi definire g(x)=1/x², puoi dire che f(x)_g(x) quindi converge.

Giulio_M

NameNick321 dato che c’è “ ~ “ è confronto asintotico non semplice

sì esatto, quindi dovendo trovare una "funzione simile" (nel senso asintotico), linearizzi l'esponenziale. Oppure puoi dire che è asintotica (in realtà sempre inferiore) a 1/e^x che converge (oppure 1/e^x² che converge) e quindi converge.

NameNick321 come faccio a essere sicuro che quella uguaglianza valga sempre?

Beh ma si tratta fondamentalmente di risolvere un limite. È come dire lim x-->infinito x/e^x² < 1/x², nel senso che per gerarchia di infiniti hai e^x² >> e^x >> x² >> x, quando x-->infinito.

NameNick321

Giulio_M cioè date due fratte, la frazione che va a infinito al denominatore più velocemente dell’altra fratta è la minore tra le due fratte?

NameNick321

Giulio_M

Ma invece questo qui che confronto asintotico sarebbe??? Non vedo né o-piccoli né ~
né equigrandi )(

Inoltre vale la convergenza solo perché quel limite fa 0? Se fosse venito un valore infinito o uno finito ma diverso da 0 non valeva la convergenza?

Giulio_M

NameNick321 ah, va bene certo! Ho capito, in pratica io dicevo "l'esponenziale è minore di 1/x²" e quindi converge. Qui concettualmente è la stessa cosa riformulata in modo diverso, ti dice che dividendo per 1/x² tende a zero. Infatti 1/x² è la classica serie convergente per eccellenza, quindi se dividi f(x) per 1/x² e questa frazione, studiata come limite (ricorda che abbiamo x-->infinito) se va a zero significa che f(x) < 1/x² e quindi minore di una serie convergente, converge. Poi formalmente non ricordo tutte le definizioni, dimostrazione di "confronto asintotico" ecc, ma da quanto indicato nell'immagine, la procedura è questa, di fatto quindi è un altro modo per dimostrare quanto avevo scritto sopra (Giulio_M).

NameNick321

E inoltre non si poteva provare la convergenza dell’esercizio iniziale della domanda facendo questa stessa cosa cioè dividendo per 1/x² la f(x)?

NameNick321

Giulio_M l'esponenziale è minore di 1/x2"

Sono due esercizi diversi comunque. Quello che ho messo nella foto iniziale è totalmente un altro esercizio da questo di quest’altra foto

Giulio_M

NameNick321 sì certo, per dire comunque che in generale la procedura è analoga, che tu la dica in un modo o nell'altro. Ovvero: a(x)/b(x) ~ 0 significa dire che a(x) << b(x), quindi se b(x) è una serie convergente tipo 1/x², stai dicendo che a(x) è minore di una convergente e dunque converge.

NameNick321

Giulio_M b(x) è una serie convergente tipo 1/x2, stai dicendo che a(x) è minore di una convergente e dunque converge.

Si si ma questo l’ho capito come concetto, è abbastanza logica come cosa. Quello che non capisco in generale. è come provare la convergenza cioè capire quale funzione g prendere affinché f ~ g
Cioè non ci arrivo a capire cosa devo prendere

NameNick321

Giulio_M non c'è una regola generale

Proprio questo mi frega, perché faccio molta fatica a capire effettivamente quale prendere. Quantomeno con le equazioni differenziali sono più o meno solo formule… qui invece c’è molto più ragionamento che non trovo intuitivo e non riesco a capire …

NameNick321

Giulio_M

Le uniche che credo di aver capito sono le polinomiali fratte per x che tende a +inf, se non sbaglio devo fare solo il rapporto delle x col coefficiente maggiore e prendere quella come g

Tipo se ho (x² + 2) / (x⁴ + x² +1) (ho inventato a caso) x—>+inf allora si fa x² / x⁴ = 1/ x² come g che converge

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