Come provare la convergenza con il confronto asintotico?

NameNick321

Giulio_M dato che c’è “ ~ “ è confronto asintotico non semplice. Quello semplice dovrebbe essere quello che hai fatto con 1/x²

Giulio_M

NameNick321 dato che c’è “ ~ “ è confronto asintotico non semplice

sì esatto, quindi dovendo trovare una "funzione simile" (nel senso asintotico), linearizzi l'esponenziale. Oppure puoi dire che è asintotica (in realtà sempre inferiore) a 1/e^x che converge (oppure 1/e^x² che converge) e quindi converge.

NameNick321 come faccio a essere sicuro che quella uguaglianza valga sempre?

Beh ma si tratta fondamentalmente di risolvere un limite. È come dire lim x-->infinito x/e^x² < 1/x², nel senso che per gerarchia di infiniti hai e^x² >> e^x >> x² >> x, quando x-->infinito.

NameNick321

Giulio_M alternativa, potresti anche dire che x/ex2 < 1/x2, sempre per x-->infinito, dato che 1/x2 è una serie convergente, allora hai convergenza.

Ma penso che anche questo modo vada bene però come faccio a essere sicuro che quella uguaglianza valga sempre?

NameNick321

Giulio_M cioè date due fratte, la frazione che va a infinito al denominatore più velocemente dell’altra fratta è la minore tra le due fratte?

NameNick321

Giulio_M

Ma invece questo qui che confronto asintotico sarebbe??? Non vedo né o-piccoli né ~
né equigrandi )(

Inoltre vale la convergenza solo perché quel limite fa 0? Se fosse venito un valore infinito o uno finito ma diverso da 0 non valeva la convergenza?

Giulio_M

NameNick321 ah, va bene certo! Ho capito, in pratica io dicevo "l'esponenziale è minore di 1/x²" e quindi converge. Qui concettualmente è la stessa cosa riformulata in modo diverso, ti dice che dividendo per 1/x² tende a zero. Infatti 1/x² è la classica serie convergente per eccellenza, quindi se dividi f(x) per 1/x² e questa frazione, studiata come limite (ricorda che abbiamo x-->infinito) se va a zero significa che f(x) < 1/x² e quindi minore di una serie convergente, converge. Poi formalmente non ricordo tutte le definizioni, dimostrazione di "confronto asintotico" ecc, ma da quanto indicato nell'immagine, la procedura è questa, di fatto quindi è un altro modo per dimostrare quanto avevo scritto sopra (Giulio_M).

NameNick321

E inoltre non si poteva provare la convergenza dell’esercizio iniziale della domanda facendo questa stessa cosa cioè dividendo per 1/x² la f(x)?

NameNick321

Giulio_M l'esponenziale è minore di 1/x2"

Sono due esercizi diversi comunque. Quello che ho messo nella foto iniziale è totalmente un altro esercizio da questo di quest’altra foto

Giulio_M

NameNick321 sì certo, per dire comunque che in generale la procedura è analoga, che tu la dica in un modo o nell'altro. Ovvero: a(x)/b(x) ~ 0 significa dire che a(x) << b(x), quindi se b(x) è una serie convergente tipo 1/x², stai dicendo che a(x) è minore di una convergente e dunque converge.

NameNick321

Giulio_M b(x) è una serie convergente tipo 1/x2, stai dicendo che a(x) è minore di una convergente e dunque converge.

Si si ma questo l’ho capito come concetto, è abbastanza logica come cosa. Quello che non capisco in generale. è come provare la convergenza cioè capire quale funzione g prendere affinché f ~ g
Cioè non ci arrivo a capire cosa devo prendere

Giulio_M

NameNick321 beh, a seconda del caso in questione, ne devi prendere una che sia asintotica (circa "uguale" consentimi di dire, ad esempio linearizzando come avevo fatto con l'esponenziale, vedi Giulio_M) oppure anche sicuramente minore, in modo da poter quindi dire f<g. Quindi dipende caso per caso, non c'è una regola generale... E anche la funzione che scegli, potrebbe quindi essere diversa ma andare lo stesso bene.
Esempio, anche ad esempio f(x)=cos(x)/x², hai cos(x) che oscilla sempre, comunque sia varia fra -1 e 1 (volendo se poi applichi la convergenza assoluta, varia fra 0 e 1) quindi puoi definire g(x)=1/x², puoi dire che f(x)_g(x) quindi converge.

NameNick321

Giulio_M non c'è una regola generale

Proprio questo mi frega, perché faccio molta fatica a capire effettivamente quale prendere. Quantomeno con le equazioni differenziali sono più o meno solo formule… qui invece c’è molto più ragionamento che non trovo intuitivo e non riesco a capire …

NameNick321

Giulio_M

Le uniche che credo di aver capito sono le polinomiali fratte per x che tende a +inf, se non sbaglio devo fare solo il rapporto delle x col coefficiente maggiore e prendere quella come g

Tipo se ho (x² + 2) / (x⁴ + x² +1) (ho inventato a caso) x—>+inf allora si fa x² / x⁴ = 1/ x² come g che converge

Giulio_M

NameNick321 eh che vuoi farci, questo sicuro... Facendo vari esercizi, quantomeno ci fai l'occhio più facilmente, ti viene più automatica la risoluzione (un po' come nella risoluzione degli integrali in generale).

NameNick321 sì, che poi fondamentalmente è come studiare un limite per x-->infinito.

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