rev21 prima cosa, la ricerca standard di WordPress è abbastanza penosa, scarsamente configurabile (ok salvo che tu non vada a mettere mano a tutto il codice, a questo punto parti da un plugin di partenza e lo tieni così oppure ci fai piccole modifiche). Volendo se non sai come metterci mano, da ispeziona elemento ricavi l'ID o classe della barra di ricerca e poi vai ad aggiungere codice personalizzato, si può fare ma non ti consiglio questa strada.
Personalmente ti consiglio invece il plugin FiboSearch - AJAX Search for WooCommerce che uso anche io e va benissimo (poi lo trovi in WooCommerce - FiboSearch). Nelle impostazioni del plugin puoi anche definire ad esempio il layout, "Search bar" oppure "Search icon", quindi fa al caso tuo (scegliere i vari colori, testo, background, ecc). Mostra anche l'anteprima, cosa che invece la ricerca standard di WordPress non fa (anche per questo motivo è penosa, oltre al fatto che di default cerca in tutto il database quindi mischiando articoli, prodotti ecc).
NB: occhio che poi devi settare adeguatamente Google Analytics, per la ricerca su sito. Va beh non è difficile, se usi Universal Analytics vai su Amministrazione, impostazioni vista, Impostazioni ricerca sul sito (ON), parametro di query scrivi "s=" (senza virgolette). Per esserne sicuro, appena attivato il plugin fai una ricerca sul sito e vedi cosa compare nell'URL ovvero sito.it/?s=keyword (altri siti con altri plugin, magari altri CMS... usano qualcosa di diverso es. /?q=keyword oppure /?t=keyword, insomma verifichi questo). In alternativa per vedere la ricerca sul sito lo puoi anche fare tramite Comportamento e inserisci s= (o quello che genera la ricerca sul sito, secondo quanto detto prima).
Potrebbe capitare che FiboSearch all'inizio generi un "errore critico", a seconda dei casi (approfondimento: come salvare le info relative all'errore nel file log), potrebbe essere richiesta l'installazione di una libreria PHP nel server (ora non ricordo il nome, ma in caso dal testo dell'errore trovi la documentazione a riguardo e la risolvi in modo semplice).
Ti mostro infine uno screenshot di esempio di FiboSearch - AJAX Search for WooCommerce:
