1) utilizziamo la disuguaglianza triangolare : il punto di incontro delle tre altezze - l'ortocentro - lo chiamiamo O.
Possiamo allora scrivere
BC < OC + OB nel triangolo BOC
AB < AO + OB nel triangolo AOB
AC < AO + OC nel triangolo AOC
Sommando si trae la disuguaglianza equiversa
AB + BC + AC < 2(AO + OB + OC) < 2(AH + BE + CK)
perché AO é una parte di AH, OB di BE e OC di CK.
Questo dimostra la prima parte della tesi.
2) Per la seconda basta osservare che le altezze determinano angoli retti e quindi triangoli rettangoli.
Poiché in ogni triangolo rettangolo ogni cateto é minore dell'ipotenusa possiamo scrivere che
AH < AC nel triangolo ACH
CK < CB nel triangolo CKB
BE < AB nel triangolo ABE
Sommando ancora si deduce la disuguaglianza equiversa
AH + BE + CK < AC + AB + BC
e quindi la seconda parte della tesi
2(AH + BE + CK) < 2(AC + AB + BC).
E' tutto. Buona serata.
