Soluzione dell’equazione differenziale precedente con parametro.

zeunig356

Io ho provato a porre yp(x) = (Ax+B) e^kx e mi é uscito

yp(x) = [ 4x/(k-3)² - 8/(k-3)³] e^kx.

Non so mettere la foto, però.

NameNick321

zeunig356 yp(x) = [ 4x/(k-3)2 - 8/(k-3)3] ekx.

A me da come si vede in foto un po’ diverso

NameNick321

Giulio_M Poi non ho ben capito come hai ottenuto un'altra equazione. Di solito occorre il problema di Cauchy, quindi del tipo y(0)=y0 e y'(0)=y'0, fai il sistema con queste due equazioni

Non ho capito ci cosa parli, a cosa ti riferisci (pagina, rigo). Inoltre l’esercizio assegnato non è un P di Cauchy ma solo l’equazione al variare del parametro, non ci sono condizioni y(x0) da imporre

Giulio_M

NameNick321 beh intendo dire che l'esercizio così ha poco senso. Con Cauchy avresti unicità della soluzione quindi un sistema a due equazioni e due incognite per determinare A e B.
In questo caso invece semplicemente facendo le derivate, poi sostituisci nell'equazione originaria, ho ottenuto anche io come te questa equazione:
e^kx(2kA+ ...) = 4xe^kx

Quello che non mi torna è il passaggio successivo che hai fatto:
k²A-6kA+9A=4
2kA+k²B-6A-6kB+9B=0

Dalla precedente equazione, hai ottenuto un sistema di due equazioni. Forse sfugge qualcosa a me in questo passaggio 😅

zeunig356

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%27+-+6y%27+%2B+9y+%3D+4x+e%5E%28kx%29

NameNick321

zeunig356 boh vabbè tutte soluzioni diverse… ormai evito di considerarli… in un compito di sole due ore sia pratico che teorico arriverò a stento a fare i primissimi passaggi, l’omogenea e pochissimo altro. Tanto non arriverò mai alla fine di tutto l’esercizio. Non è in grado di preparare un compito che effettivamente si può concludere entro le due ore.

zeunig356

La mia é uguale a quella di Wolfram se dividi le prime due per k - 3.
Solo che non posso mostrare come ho fatto perché non so mettere su Domandina una foto fatta con smartphone.

NameNick321

zeunig356 per mettere la foto basterebbe andare qui

https://it.imgbb.com/

Cliccare su inizia il caricamento , selezionare la foto e una volta pronta si tiene premuta un modo da fare copia e incolla.

Al di là di questo, vedendo le mie foto non sai individuare in quale punto ho sbagliato?

zeunig356

Hai trovato correttamente A = 4/(k-3)²

anche l'altra equazione é scritta bene,

(2k - 6) A + (k² - 6k + 9) B = 0

per cui B = - 2(k - 3)/(k - 3)² * A = -2A/(k - 3) = -8/(k - 3)³

yp(x) = ( 4x/(k - 3)² - 8/(k - 3)³ ) e^kx.

Ti trovi ?

NameNick321

zeunig356
La B non mi viene uguale. Facendo il sistema isolando la B e quindi portando i termini con la “A” a secondo membro mi viene che la B è
B= 24 / (k-3)⁴ - 8k / (k-3)⁴

È come se io avessi una sorta di pezzo in più inoltre io ho elevato alla quarta e non al cubo o quadrato

NameNick321

Giulio_M scusa, sarebbe il metodo della somiglianza. Nell’esercizio di partenza a secondo membro c’è 4x* e^kx quindi i coefficienti devono corrispondere a quelli dell’esercizio assegnato.

Inoltre non capisco perché l’esercizio non avrebbe senso… oltre ai Problemi di Cauchy esistono anche le equazioni differenziali senza condizioni da imporre quindi ottieni infinite soluzioni. Dove è scritte che bisogna assegnare necessariamente problemi di Cauchy?

Giulio_M

NameNick321 ah ok 😁 no beh appunto perché non capivo quel passaggio e quindi credevo non ci fosse modo per determinare A e B (come dire, hai solo un'equazione e due incognite). Ok, così mi è più chiaro!

NameNick321

Giulio_M il metodo della somiglianza si usa solo per determinare una soluzione particolare dell’equazione , non tutta la soluzione. Credo che ne avevamo già visti svariati in estate di esercizi così , ma senza parametro k, per quando stavo preparando analisi 1