y’’ - 6y’ + 9y = 4 x ekx
Forse ne sono venuto a capo dopo ore di nervosissimo e bestemmie.
Primissima cosa da fare. Considerare l’omogenea.
y’’ - 6y’ + 9y = 0
Con facili conti si ottiene y_o (x) = c1 e3x + c2x e3x
Nota che il delta è uguale a 0, ci servirà dopo per la particolare. Due soluzioni reali coincidenti.
Notiamo che nella soluzione omogenea abbiamo come esponente della “e” il “3x”
Quindi ci rendiamo conto che se k=3, nella ricerca della soluzione particolare occorre prestare più attenzione.
Risolviamo subito per k=3
La soluzione omogenea ovviamente è la precedente, nella particolare però dobbiamo prendere yp(x) = e3x(Ax + B)*x2 = (Ax3 + Bx2) e3x
Devo moltiplicare per x2 perché il delta della omogena era uguale a 0 quindi la X va moltiplicata ulteriormente per altre 2 volte, per il caso k=3
Dopo un bel po di derivate antipatiche, raccoglienti e sistema vario viene A=2/3 e B=0
Quindi abbiamo la particolare nel caso k=3
——
Siamo adesso invece nel caso k≠3
Qui purtroppo la k va trascinata di volta in volta, tuttavia avendo escluso k=3 determinare la particolare é più semplicemente perché non c’è il rischio che coincida con l’omogenea che aveva esponente 3
Quindi prendiamo yp= (Ax+B)* ekx
Quindi da un grado tre siamo passati a un grado uno rendendo le derivate più semplici.
Il sistema non è comunque un qualcosa di immediato quindi potrei aver fatto delle stupidaggini quindi vi chiedo cortesemente di vedere le foto che presto allegherò coi passaggi, soprattutto quelle finali perché i dubbi ce li ho comunque.
Ho provato poi due esempi con k=0 e k=1 per vedere quali particolari si trovano, così per vedere e vendono quelle due robe che ho scritto in fondo.
Comunque no, non è normale mettere in un compito di sole 2 ore un esercizio del genere assieme a integrali tripli, serie di funzioni, minimi e massimi vincolati, integrali curvilinei, teoremi da enunciare e dimostrare. Il compito deve durare MINIMO 3 ore.
@Giulio_M @zeunig356
Mi appresto a fare foto e allegarle. Sperando si comprenda la scrittura.
