Esercizio serie di funzioni

NameNick321

Se x=0 diventa

1/ (n² +n) che converge per confronto con 1/n²
Quindi convergenza puntuale per x= 0
Ma se x≠0?

Inoltre poi per la convergenza uniforme?

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 Ma se x≠0?

Beh presumo che nella consegna ci sia una funzione f(x,n) generale con x=parametro. Quindi parti da questa e prima studi il caso più semplice con x=0, appunto convergenza per criterio del confronto, poi a seconda di come è fatta la funzione generale avrà un certo comporamento (senza conoscere la funzione, non si può dire).
Dopodichè, convergenza puntuale e uniforme le puoi studiare (limite per n che tende ad infinito e trovare punto di massimo, come si diceva anche in esercizio analisi 2 - convergenza puntuale vs uniforme).

NameNick321

Giulio_M scusa avevo dimenticato di allegare la foto dell’esercizio e adesso non riesco più a trovare quale era… più che altro il problema è la convergenza uniforme perché è complicata da trovare. Prima devi fare la totale, devi trovare il sup di f_n(x) e vedere se la serie del sup converge ecc ecc …

NameNick321

Giulio_M forse è questo.

NameNick321

NameNick321 ok é questo di sicuro.

Giulio_M

NameNick321 ok, beh quindi x è sempre un parametro, e^x è una costante (qualunque valore possa essere, una costante).
Quindi convergenza puntuale hai ~ e^x/n² ovvero costante/n² ~ 1/n², converge puntualmente.
Sulla convergenza uniforme credo sia più complicato (in teoria credo potresti anche trovare il massimo tramite derivata quindi df/dn=0 e tratti e^x sempre come una costante). Comunque dato che per definizione di convergenza uniforme deve essre indipendente da x, in questo caso invece dipende sempre da e^x (poi per x>>) quindi non converge uniformemente.
In questo caso ho provato con la derivata ma risulta df/dn = -e^x(2n+e^x)/(n(n+e^x)²), nullo quando 2n=-e^x, impossibile (dato che e^x è sempre positivo, n va da 2 a +infinito). Quindi non esiste un massimo nel dominio (non so se questo sia condizione necessaria e sufficiente per dire che "non può convergere uniformemente").