Convergenza serie

NameNick321

Perché la serie da n=1 a +inf
2^-nh / [ 1 + n* h² ] converge?

Giulio_M

NameNick321 beh che diamine, uno dei fattori è un esponenziale decrescente (influisce molto di più di 1+nh² che hai a denominatore), quindi hai convergenza. Tende a zero ovviamente come premessa e puoi studiarla es. con il criterio del confronto, è minore di 1/n² quindi per definizione converge.

Ovviamente parliamo di h>0. Se h<0 diverge (2^-nh andrebbe a +inf anziché a zero) e anche se h ~ 0 diverge poiché in quel caso numeratore e denominatore tendono a 1 quindi 1/1 non tende a zero, manda la condizione necessaria per la convergenza.

NameNick321

Giulio_M si può provare facendo direttamente il criterio della radice partendo da quella iniziale senza confronti?

Giulio_M

NameNick321 sì certo. Come radice ti conviene prendere la radice n-esima, quindi a numeratore ottieni 2^-h; a denominatore (1+nh²)^1/n che tende a 1 facendo il limite a infinito. Quindi appunto risulta 2^-h che è minore di 1 (per h>0) e quindi per definizione, criterio della radice, converge.

zeunig356

Se h >0 è maggiorata da 2^-nh che e' geometrica convergente