Esercizio minimo e massimo assoluti di f

NameNick321

f(x;y)= x² + y² - x - y

Minimo e massimo assoluti nell’insieme x>=0; y>=0, 4 x² + 4 y² <=1

Intanto i punti stazionari di f si hanno per 2x-1=0 e 2y-1=0 quindi l’unico punto stazionario di f è A (1/2 ; 1/2)

L’insieme in cui si ha la funzione ristretta é sostanzialmente il quarto di cerchio del primo quadrante, con centro O(0;0) e raggio 1/2. Dato che x>=0 e y>=0 appunto prendiamo solo lo spicchio del cerchio del primo quadrante.

Il punto stazionario A trovato prima evidentemente non appartiene all’insieme. Ma minimo e massimo assoluti esistono per Weierstrass. Non essendo interni allora appartengono alla frontiera.

Parametrizzo il segmento orizzontale
“a” (x;0) con x appartenente a [0;1/2]
f(x;0) = x² - x
Derivando si ha 2x-1 = 0 se e solo se x =1/2 il quale però è estremo del dominio.

Quindi i primi candidati a minimo/ massimo assoluti di f nell’insieme sono (0;0) e (1/2;0)

Parametrizzando il segmento verificale “b” cioè (0;y) con y appartenente a [0;1/2] in modo simile si ha di nuovo il punto (0;0) e il punto (0;1/2)

Manca da parametrizzare la la parte curva della porzione di cerchio. Presumo si faccia in coordinate polari ma non le abbiamo fatte. C’è un altro modo? Eventualmente…

@Giulio_M @zeunig356 @Matematico_risponde

Giulio_M

NameNick321 sì, dall'annullamento del gradiente hai trovato le due equazioni 2x-1=0, 2y-1=0 quindi l'unico punto stazionario che è (1/2;1/2).

L'insieme 4x²+4x²<=1 è questo cerchio centrato nell'origine con diametro unitario (raggio² = 1/4 ovvero raggio = 1/2); ti chiede x>=0 e y>=0 quindi giustamente l'insieme è solo il quarto di cerchio del primo quadrante.

Il punto stazionario non fa parte del dominio poiché 4(1/2)²+4(1/2)² = 2, è maggiore di 1.

Massimi e minimi quindi come dici tu appartengono alla frontiera. Le coordinate polari sono più comode ma di per sé puoi parametrizzare anche senza il cambio variabili, dall'equazione della circonferenza. Da 4x²+4y²=1 ottieni x²+y²=1/4 ovvero y=√(1/4-x²)

Quindi ottieni f(x,√(1/4-x²)) = x² + 4(1/4-x²) -x - √(1/4-x²) = 1 - 3x² - x - √(1/4-x²), poi prenderai comunque la parte x>=0 e y>=0 che comunque è soddisfatta essendo y una radice quadrata.

Se non sbaglio quindi poi devi fare la derivata di questo (rispetto a x) e porla uguale a zero.
Quindi: - 6x - 1 + x/√(1/4-x²) = 0
Spero di non aver sbagliato i conti, dalla risoluzione numerica (tracciandone il grafico) comunque mi risultano questi valori:
x = -0,415
x = -0,278
x = +0,484

Ora sostituisci quei valori in f(x,y) quindi y con la relazione f(x,√(1/4-x²)) e ottieni:
x = -0,415; y = +0,279 --> f(x,y) = +0,386 --> punto P1
x = -0,278; y = +0,415 --> f(x,y) = +0,112 --> punto P2
x = +0,484; y = +0,125 --> f(x,y) = -0,359 --> punto P3

Il punto (0,0) appartiene all'insieme e f(0,0) vale 0. Quindi i primi due, P1 e P2 sono punti di massimo mentre P3 è punto di minimo.

Stracu 2.0

Sì, si può analizzare la porzione curva del quarto di cerchio senza necessariamente utilizzare le coordinate polari, parametrizzandola in termini di e vincolati dalla circonferenza.

NameNick321

Stracu 2.0 qual é il tuo titolo di studio? Risposta da chatgpt ?

NameNick321

Giulio_M P1 e P2 sono punti di massimo mentre P3 è punto di minimo.

Ma si chiedeva solo gli ASSOLUTI, quindi già 0,112 è da scartare perché ce ne è uno più grande. Inoltre mi sembra che il minimo assoluto dovrebbe essere 0 assunto in (0;0) e non esistono punti della funzione ristretta all’ insieme in cui é negativa dunque quel -0,359 dovrebbe essere sbagliato (??)

Giulio_M

NameNick321 ah ok, beh allora prendi gli altri due.

NameNick321 Inoltre mi sembra che il minimo assoluto dovrebbe essere 0 assunto in (0;0)

In realtà no, ho provato a mettere ad esempio (1/4;1/4) - 1/2 abbiamo visto che è fuori dal dominio ma 1/4 è dentro dato che 4(1/4)²+4(1/4)² = 0.5 <= 1 - e f(1/4;1/4) = -0,375.
Avrò poi sbagliato dei conti, probabilmente con la radice, dato che questo risulta minore di P3 che avevo identificato come minimo assoluto. Comunque vedi che f(x,y)<0 è possibile.

Stracu 2.0

NameNick321 vinsi 200.000 euro a Chi Vuol Essere Milionario nel 2015

NameNick321

Giulio_M Comunque vedi che f(x,y)<0 è possibile.

Si ma in teoria sulla frontiera di quello specifico insieme non succede. Prova con le coordinate polari e vedi se ti viene la stessa identica cosa…

NameNick321

Giulio_M scusa ho sbagliato.

In realtà sí dovrebbe venire anche negativa, ma il massimo assoluto dovrebbe essere in O(0;0) quindi la funzione in quella restrizione non assume più di 0, quindi non si ha mai f>0 nell’insieme e quindi 0,386 e 0,112 dovrebbero essere sbagliati

NameNick321

Stracu 2.0 troppo pochi. Non sei diventato milionario.

Giulio_M

NameNick321 oddio ora non so, magari fra le derivate e i conti con la radice quadrata, è anche possibile che abbia sbagliato dei numeri 😅
Ah comunque ad occhio direi di sì, massimo in (0,0)!! Pensandoci è anche semplice, se f(x,y)=x²+y²-x-y, dato che x e y nell'insieme devono essere sicuramente minori di 1 (circonferenza di raggio 1/2 centrata nell'origine), se 0<x<1 hai che x²<x e analogamente y. Quindi per come è definita la funzione, in questo insieme il valore massimo è proprio f(0,0)=0.

NameNick321

Giulio_M puoi provare con le coordinate polari come ti viene? Penso i passaggi siano più corti

Giulio_M

NameNick321 eccomi! In coordinate polari, ottieni:

x = R * cos(θ) = (1/2)cos(θ)
y = R * sin(θ) = (1/2)sin(θ)

Quindi sostituisci in f: f = R²(cos²(θ)+sin²(θ)) - R(cos(θ)+sin(θ)) = R(R - cos(θ) - sin(θ))

La derivata df/dθ = R(sin(θ) - cos(θ)) = 0 quando cos(θ)=sin(θ) ovvero sulla circonferenza goniometrica θ=π/4+kπ; in questo caso l'insieme lo parametrizzi ancora più facilmente con le coordinate polari quindi in pratica quel quarto di cerchio ha θ=[0,π/2].

Fin qui direi che è corretto, poi ho qualche dubbio su come identificare il punto esatto (θ=π/4 indica in pratica la bisettrice y=x nel primo quadrante) e calcolare quindi il valore preciso di massimo/minimo, in questo caso minimo. Sostituendo in R(R - cos(θ) - sin(θ)) mi risulta -0,457, qui non sono sicurissimo ma la procedura mi sembra corretta.

NameNick321

Giulio_M secondo te é giusto così?

x= 1/2 cosθ
y= 1/2 sinθ

θ appartiene a [0; pi greco/2]

f= 1/4 - 1/2 cos - 1/2 sin

f’ = 1/2 (sin - cos)
f’ = 0 —> sin = cos cioè per θ= pigreco/4 che appartiene a [0;pigreco/2]

x= 1/2 cos pi greco/4 = rad2 /4
y= rad2 /4

Si ha minimo assoluto f(rad2/ 4 ; rad2 / 4) (1-2rad2) / 4

Giulio_M

NameNick321 certo, avevo ottenuto lo stesso risultato, diversamente: in pratica io sono arrivato all'uguaglianza con f'=0, poi io ho mantenuto la f con le coordinate polari, tu hai risostituito x e y per poi calcolate f(x,y). Anche nel tuo caso:
f(√2/4;√2/4) = 1/4 - √2/2 = -0,457 quindi coerente con il risultato che avevo trovato io prima direttamente con le coordinate polari.

NameNick321

Giulio_M

Ok, ma in generale la parametrizzazione della circonferenza sarebbe x = x0 + rcos e y=y0+rsin

con x0 e y0 coordinate del centro e r raggio?

Mentre se ad esempio ho una parabola non si fa la parametrizzazione, ma si scrive direttamente f(x;y) = f(x;x²) e quindi a ogni y si sostituisce x² ? Non ho ben capito questa cosa…

Giulio_M

NameNick321 beh diciamo che la parametrizzazione non è obbligatoria (anche in questo esercizio, coordinate polari quindi seno e coseno ti diventa più comodo fare i conti, ma se vuoi non parametrizzi e lavori con la radice quadrata... Diciamo, un po' analogamente alle sostituzioni negli integrali, lo fai se ti torna più comodo per risolvere il problema. Quindi con una parabola, non avrebbe senso parametrizzare (ovvero fare una sostituzione) perché è più semplice tenerla così... Ma di per sé potresti comunque farlo, volendo! Esempio:
x = e^t
f = x² = e^2t
f'(x)=2x ; f'(t)=2e^2t
f'(x)=0 quando x=0; f'(t)=0 quando l'esponenziale va a zero ovvero t--> -infinito. Infatti in questo esempio a caso che ho fatto, x=e^t quindi t=ln|x|, ln|0| - ne faresti il limite - appunto tende a - infinito.

Per la parametrizzazione in coordinate polari, aggiungere x0,y0 cambia solo il sistema di coordinate quindi in genere ti è comodo prendere la stessa origine, ma è solo una traslazione rigida. Poi lavori con l'angolo (θ), tu definisci sempre semplicemente x=Rcos(θ) e y=Rsin(θ), in mdoo tale da non sbagliare angolo (non so se mi spiego, se prendi un'altra origine poi ti verrebbe anche un angolo diverso). Quindi semplicemente ne tieni conto posteriori se x0 y0 erano diversi da zero, appunto le coordinate polari le applichi sempre così come sostituzione.