Dubbio limiti

NameNick321

Devo provare il teorema:

A di Rⁿ aperto. f:A—>R , x0 appartenente ad A, v appartenente ad Rⁿ, v≠0
Se f é differenziabile in x0 allora esiste df(x0)(v) per ogni v di Rⁿ diversa da 0
f é derivabile lungo qualsiasi direzione

DIMOSTRAZIONE (quando metto // … // indico la NORMA)
Partendo dal rapporto incrementale
[f(x0+tv) - f(x0) ] / t dopo svariati passaggi arriviamo a

[f(x0+tv) - f(x0) - df (x0)(tv)] / (//tv//)_n è il fattore 1 e tutto questo va a moltiplicare (|t| * //v//) / t che è il fattore 2 e tutto questo prodotto tra i due prodotti va sommato a df(x0)(v)

Per mostrare la tesi dobbiamo passare al limite per t che tende a 0 e deve venire df (x0) (v)

Mi potete spiegare perché il limite di tutto quella roba fa 0?

Chiaramente df (x0)(v) non dipende da t e dato che fa proprio quello lì allora o uno dei due fattori precedenti che ho scritto sopra o entrambi fanno 0 per t che tende a 0. Ma appunto non ho capito quale dei due o se entrambi e perché, partendo dal fatto che entrambi sono forme indeterminate [0/0]

@Giulio_M @zeunig356 @Matematico_risponde

Giulio_M

NameNick321 ok praticamente devi dimostrare che l'errore residuo tende a zero. Quindi (anche se non so bene il perché di t e v, ma credo sia ininfluente) partendo da quello che hai scritto:
f(x0+tv) ≃ f(x0) + df(x0)tv + r(tv)
In pratica quindi è l'analogo del limite del rapporto incrementale (metti tv al posto di h), r è l'errore di troncamento perché altrimenti potresti andare avanti nello sviluppo, vedi espansione in serie di Taylor.
Il fattore 1 equivale a r(tv)/tv, che appunto vogliamo che tenda a zero (zero diviso qualcosa, fa zero).
Il fattore 2 (scrivo solo modulo anziché norma, comunque si intende quello) è |t| |v| / t = ± v
Quindi fattore1 * fattore2 risulta r(tv)/tv * ± v = ± r(tv)/t -->0 per come abbiamo definito prima il residuo.
Quindi poi semplicemente: 0 + df(x0)v = df(x0)v

Qui su Domandina se fai || testo || lo interpreta come lo spoiler (esempio: testo di esempio), che viene fatto anche con questo simbolo: >!testo!<. Per visualizzarlo come l'ho scritto io, puoi indicarlo come codice (l'icona </>) oppure comehai fatto tu inserire un simbolo un po' diverso (//) o indicare una singola barra anziché due, come valore assoluto anziché norma vettoriale.

NameNick321

Giulio_M Quindi (anche se non so bene il perché di t e v, ma credo sia ininfluente)

Nemmeno io lo so haha. So solo che servono per le direzioni. Essendo a piu variabili le derivate si possono avere da piu direzioni possibili, ma non so le differenze tra t e v, ma credo che v sia un vettore mentre t uno scalare (???)

NameNick321

Giulio_M diverso (//) o

Infatti io ho modificato mettendoli così perché mettendo || dava quell’altra cosa. Credo sia più comodo mettere //

Giulio_M

NameNick321 ah.. ok ok, certo! Beh sì, t immagino sia il tempo quindi uno scalare, mentre v se ha a che fare con le direzioni, è un vettore e il suo segno - che appunto indica il verso - è il versore quindi modulo unitario:

NameNick321

Giulio_M non credo sia il “tempo”. Stiamo parlando di analisi 2, non di fisica. Il tempo non é mai stato nominato in nessuna lezione. Credo sia una sorta di parametro

Giulio_M

NameNick321 ah ok ok, beh sì effettivamente quindi è come indicare (u,v) generici. Per distinguere vettore da scalare, indicano due lettere ben diverse, come convenzione quindi (t,v). Ci può stare!