Studio massimi e minimi relativi per via grafica

NameNick321

x³ * y² + 1

I punti stazionari sono (x0;0) per ogni x e (0;y0) per ogni y

L’Hessiano fa 0 in entrambi i casi.

Nel caso (x0;0) se x0>0 abbiamo un auto valore nullo e l’altro positivo quindi è sella o minimo. Se x0<0 o della o massimo. Per via grafica

f(x;y) - f(x0;0) >=0 quindi x³ y² + 1 -1>=0
x³ y² >=0 se e solo se x>0 quindi per x0>0 minimo locale, x0<0 massimo locale, x0=0 della (in ogni intorno si alternano + e -)

Ma facendo per il caso (0;y0) non dovrebbe venire x³ * y² >=0 che è positivo per ogni y? Quindi tutto punto di minimo per ogni y0 tranne y0=0 per cui è di sella? Eppure nelle soluzioni dice che è di sella per ogni y0 appartenente a R. Perché ?

@Giulio_M @zeunig356 @Matematico_risponde

Giulio_M

NameNick321 esatto, con le derivate parziali ottieni:

df/dx = 3x²y²
df/dy = 2x³y

Quindi gradiente nullo significa xy = 0 e hai i seguenti insiemi di punti: (x0;0) e (0;y0) dato che in entrambi i casi annulla il gradiente.

Lo studio della matrice Hessiana non è conclusivo, avendo determinante nullo (infatti almeno uno degli autovalori è nullo).

Per via grafica, vedi che f(x,y) cresce rapidamente quando aumentano x e y, siccome l'esponente di x è dispari, ha comportamento diverso che x sia positivo o negativo (risulta quindi f(x,y)>0 o f(x,y)<0 a seconda dei casi), quindi (0,0) non è massimo o minimo ma è un punto di sella. È questo l'unico punto stazionario della funzione e risulta essere appunto un punto di sella.

NameNick321

Giulio_M l'unico punto stazionario della funzione e risulta essere appunto un punto di sella.

Mhhh no, secondo le soluzioni 0;0 non è l’unico punto di sella. Lo sono anche tutti gli 0;y0 per ogni y0 appartenente a R. Inoltre se abbiamo funzioni a più variabili, il concetto di “crescenza” o “cresce più rapidamente” é privo di senso

Soluzioni

(0;0) sella (cioè (x0;0) con x0=0 che comunque può essere inglobato nell’ultima soluzione cioè (0;y0) per ogni y appartenente a R, vedi 3 righe sotto)
(x0;0) minimo relativo per ogni x0 >0
(x0;0) massimo relativo per ogni x0<0
(0;y0) sella per ogni y0 appartenente a R

Giulio_M

NameNick321 Ok hai ragione, come indicato all'inizio abbiamo gli infiniti punti (x0;0) e (0;y0). Mi sono espresso male riguardo al "sempre crescente", ora mi spiego meglio, dalle soluzioni comunque vedi che:

(x0;0) minimo relativo per ogni x0 >0 --> ecco, con x³ se aumenta x, questa componente cresce (poi in f(x,y) viene moltiplicata per y² che sarà sempre positivo), quindi se tende a crescere a +inf all'aumentare di x>0, hai identificato il punto di minimo
(x0;0) massimo relativo per ogni x0<0 --> discorso analogo a prima ma con segno opposto: x³ è negativo se x<0 quindi va diretto a -infinito (moltiplicato per y² appunto non cambia segno) quindi identifichi un punto di massimo
(0;y0) sella per ogni y0 appartenente a R --> siccome y² è sempre positivo, non hai diverso comportamento massimo/minimo come nei casi precedenti

NameNick321

Giulio_M y2 è sempre positivo

Ma se è sempre positivo allora non dovrebbe essere di minimo relativo? Per definizione (x0;y0) è di minimo se f(x;y) - f(x0;y0) >=0

In questo caso x0=0 e y0 è una qualsiasi y reale. A me sembra che graficamente è tutto ++++++ quindi soddisfatta la definizione di minimo relativo.

Si ha la sella se in ogni intorno del punto si alternano + e - ma qui dato che la y è al quadrato è sempre positiva a me sembra sempre minimo. Invece nel caso precedente c’era la x³ quindi non sempre positiva quindi lì era diverso e facevamo le distinzioni. Bho vabbè

Giulio_M

NameNick321 ok, sì effettivamente ha senso... Essendo y², giustamente diverso dal caso precedente che moltiplica x³, qui risulterebbe sempre positivo quindi punto di minimo.
Va beh, un po' più strano rispetto ai problemi classici.

NameNick321

Giulio_M però la soluzione dice che è sella per qualsiasi y reale. Per questo ho postato la domanda. Comunque in tutti i compiti d’esame il mio professore mette esercizi con Hessiano nullo in modo tale che bisogna intanto provarlo e poi passare per altri metodi (via grafica appunto), altrimenti dice che è troppo facile. Quindi devo prepararmi su esercizi di questo tipo e non quelli banali in cui l’hessiano è diverso da 0 perché tanto non lo metterà. Significherebbe regalare un esercizio. Già ha detto chiaramente che non lo farà. Vabbé lo prendo come errore del testo a questo punto