Esercizio minimi massimi assoluti di f in un’opportuna restrizione

NameNick321

Non so se ho fatto bene.

f= x³ - y²

La restrizione è T: |x| <= 1; |y|<=1

Che sarebbe il quadrato di centro origine degli assi cartesiani, dato dalla legge [-1;1] x [-1;1]
Si scrive così?? È giusta come scrittura??

f è definita in tutto R² che è un insieme aperto ed è continua in R²

ho cercato i punti stazionari di f in generale senza tenere conto di T, con derivate parziali f_x e f_y

Sistema banale con soluzione O(0;0) , giusto?

L’origine appartiene alla restrizione T (è il centro di T)
L’Hessiano non lo considero perché sono chiesti gli assoluti in T e non i generici relativi di f.

T è un insieme compatto, f è continua in T, soddisfa le Hp del thm di Weierstrass quindi f ammette minimo e massimo assoluti in T, giusto?

essi possono essere sia interni che sulla frontiera di T. Ma massimo assoluto/ minimo assoluto implica relativo che a sua volta implica stazionario. L’unico stazionario interno a T è (0;0) dunque è un candidato come minimo, massimo assoluto. È giusto come ragionamento???

Per ora lo metto da parte e non considero altri punti interni. Considero la frontiera, cioè i 4 lati del quadrato T. Li parametrizzo uno ad uno.

Parametrizzo il lato orizzontale in basso. È (x;-1) con x appartenente ad [-1;1] mi sono ricondotto a funzione a una variabile quindi ricerco minimi e massimi tramite derivata prima e tenendo in considerazione anche i punti estremi di ciascun segmento di T (ovvero i 4 vertici del quadrato)

f(x;-1) = x³ -1
Derivando ho 3x² = 0 se e solo se x=0
Quindi (0; -1) è candidato oltre ai due estremi (-1;-1) e (1;-1)

Parametrizzo il segmento verticale a destra

(1;y)

f(1;y) = 1-y²
Dalla derivata prima si ha y=0 quindi (1;0) è da considerare oltre all’estremo (1;1). L’altro estremo (1;-1) era già stato considerato nella precedente parametrizzazione.

Parametrizzo il segmento orizzontale superiore

(x;1)
f (x;1) = x³ -1

derivata 3x² = 0 se e solo se x=0
Dunque considero f(0;1) oltre all’estremo f(-1;1)

Manca l’ultimo segmento cioè quello verticale sinistro

(-1;y)
f(-1;y) = -1-y²

Derivata -2y = 0 se e solo se y=0

Considero dunque f(-1;0)

Dunque in totale devo considerare i 4 estremi di T (vertici). Il punto (0;0) cioè l’unico interno stazionario e i punti ottenuti dalle derivate prime delle singole parametrizzazioni. Li sostituisco in f= x³ -y² e confronto i valori: il più grande mi dà il punto di max assoluto e il più piccolo il punto di minimo assoluto.

f(0;0)=0
f(0;-1) = -1
f(-1;-1) = -2
f(1;-1) = 0
f(1;0) =1
f(1;1) = 0
f(0;1) = -1
f(-1;1) = -2
f(-1;0) = -1

Dunque f ammette in T massimo assoluto per P(1;0)

e minimo assoluto sia per P(-1;-1) che (-1;1)

NameNick321

@Giulio_M @zeunig356 @Matematico_risponde

Qualcuno mi dica se i ragionamenti sono corretti così come i vari calcoli intermedi, che le considerazioni finali. Anche a livello teorico, non vorrei aver scritto cretinate. Quando fai un esercizio all’esame devi anche fare i cenni teorici. Io non so se ho sbagliato qualcosa, se mancano cose, se ci sono calcoli errati, sviste di segno ecc qualcuno mi dia un feedback tenendo conto di ogni aspetto, cenni teorici, calcoli di derivate, parametrizzazioni ecc

All’esame non voglio sbagliarla questa tipologia di esercizi… perché se mi devo affidare agli integrali ciaone… ho passato analisi 1 lasciando in bianco l’ integrale e secondo voi per analisi 2 punterò sugli integrali doppi, tripli ecc? Ma non credo proprio. Quindi devo saper fare benissimo questa tipologia di esercizi.

Giulio_M

NameNick321 sì, a me torna. Hai appunto (0,0) che è la soluzione banale, appartiene alla restrizione quindi va bene, poi verifichi appunto i punti dei vertici della restrizione. Non ho ben capito la questione della parametrizzazione, dato che hai già [-1;1]x[-1;1] e quindi non potresti fare f(x,y) sostituendo le quattro coppie di punti? Poi in base al valore risultante, determini massimi e minimi assoluti.
Quindi in modo analogo alla procedura di questo esercizio: f(x;y) = |x² - y²|(x+1) (troppo bello linkare una funzione matematica 😁).
Direi che è corretto, anche nel risultato finale di massimo e minimo.

NameNick321

Giulio_M Non ho ben capito la questione della parametrizzazione, dato che hai già [-1;1]x[-1;1] e quindi non potresti fare f(x,y) sostituendo le quattro coppie di punti?

No perché non sono sufficienti i 4 vertici. Come appunto in questo caso, oltre ai 4 vertici abbiamo punti interni a ciascun segmento da tenere in considerazione. Ogni segmento cioè ogni singolo lato del quadrato rappresenta una funzione a una variabile, in x oppure in y a seconda se il lato è quello orizzontale o verificale e sappiamo bene dall’analisi 1 che i punti stazionari oltre agli estremi della funzione (che rappresento i vertici del quadrato, ma presi come singoli lati rappresentano gli estremi del dominio di ciascuna singola funzione cioè singolo lato, ovvero la frontiera o bordo della funzione a una variabile) ma i punti di minimo e massimo vanno cercati sia agli estremi che all’interno (punti interni) della funzione a una variabile. E come si cercano i punti interni? Tramite derivata prima essendo ad una variabile. Noi a lezione abbiamo fatto così.

Se avessi considerato solo gli estremi non va bene perché non è sufficiente, i punti di frontiera (attenzione che con frontiera non intendo la frontiera del quadrato T, ma la frontiera di ogni singolo lato che è una funzione a una variabile) non sono gli unici candidati , devo vedere anche eventuali punti interni di ogni singolo lato e si trovano con derivata prima, si pone =0 e si trovano i punti critici.

Sbaglio? Se avessi saltato questa cosa come avrei ottenuto (1;0) ??? (1;0) non è un vertice né il punto stazionario interno a T trovato con le derivate parziali! Se non facevo la parametrizzazione dove lo andavo a prendere (1;0)?