Analisi 2 minimi e massimi

NameNick321

Quali sono gli eventuali punti di estremo relativo di

f(x;y;z) = e^{x² + y² + 3xz + yz -10x}

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 @Giulio_M

NameNick321

NameNick321 Tutto quello che vedete è l’esponente, tranne “e” ovviamente

Giulio_M

NameNick321 ok, devi prima fare le tre derivate parziali di f(x,y,z):

df/dx = e^{x²+y²+3xz+yz-10x} * (2x+3z-10)
df/dy = e^{x²+y²+3xz+yz-10x} * (2y+z)
df/dz = e^{x²+y²+3xz+yz-10x} * (3x+y)

Dopodiché, per trovare i punti di estremo relativo, devi fare gradiente=0, ovvero un sistema in tre equazioni e tre incognite, annullare contemporaneamente le tre derivate parziali.
∇f = (∂f/∂x , ∂f/∂y, ∂f/∂z) = 0

Dato che per tutte compare il termine esponenziale che è sempre maggiore di zero, il sistema si semplifica così:

2x+3z-10=0
2y+z=0
3x+y=0

Risulta questo punto: (x,y,z) = (1/2, -3/2, 3).

NameNick321

Giulio_M ma non si usa la matrice Hessiana e la classificazione in base al segno del determinante ?

Giulio_M

NameNick321 beh sì, con il gradiente calcoli le derivate parziali prime (questo è sufficiente per identificare il punto o i punti stazionari), mentre con la matrice Hessiana calcoli le derivate parziali seconde (totali es. d²f/dx² e miste es. d²f/dxdy) per classificare il punto. Alla fine lo vedi quindi come una semplice estensione di analisi 1, quello che facevi con una variabile ora lo fai in più variabili. Dopodiché:

matrice definita positiva = punto di minimo locale
matrice definita negativa = punto di massimo locale

$matrice hessiana$

zeunig356

La matrice Hessiana contiene le derivate seconde ( pure e miste ) calcolate in quel punto.

NameNick321

zeunig356
@zeunig356 @Giulio_M

eh dico, per svolgere tutto l’esercizio bisogna anche fare questo, no? Ma non ci voglio almeno 3 quarti d’ora abbondanti per fare tutti i passaggi di tutto l’esercizio dall’inizio alla fine, considerando anche che la matrice è una 3x3 e non 2x2 quindi anche col determinante si perde più tempo. È un esercizio d’esame che dura 2 ore in totale e oltre questo ci sono altri esercizi come integrali tripli e definizioni, teoremi e dimostrazioni di teoria. Come si fa a fare tutto entro le 2 ore?! Ovviamente più esercizi faccio più andrò veloce ma mi sembra di capire che questi esercizi hanno tanti conti e portano via tanto tempo. Non posso farli velocemente perché non ci vuole nulla a sbagliare un segno o un prodotto o quel che sia quando si calcolano le derivate. Addirittura dunque servono anche le derivate seconde. Ma penso che minimo 45 minuti per fare tutto ci vogliono

Giulio_M

NameNick321 certo, occorre fare pratica con gli esercizi. Poi dipende dalla funzione, questa ad esempio non era difficilissima (sebbene con diversi componenti), intendo dire che fare le derivate è peggio quando ci sono di mezzo radici ecc, la procedura è più laboriosa, richiede più tempo.
Eh va beh, anche analisi 1 era "tirato" con i tempi, poi però lo hai fatto 🙂 anche qui, si tratta di esercitarsi, fare esercizi. Il tempo credo dipenda molto dall'esercizio di partenza.

NameNick321

Giulio_M nah analisi 1 come scritto intero quindi non i parziali aveva 3 ore di tempo e non 2 inoltre c’erano solo esercizi. Qui invece dura 2 ore quindi 1 in meno e in più c’è pure la teoria. Se fai tutti gli esercizi giusti ma non fai la teoria bocci comunque. Devi fare per forza entrambe le cose.