Studio della convergenza uniforme

NameNick321

fn (x) = 1/n * ln (1+ e^nx )

Giulio_M

NameNick321 basandomi su quanto si diceva in Esercizio di analisi matematica 2:
convergenza puntuale: fai il limite per n-->+infinito
Limite per n-->infinito, l'argomento del logaritmo hai ovviamente e^nx>>1 quindi essendo una somma, puoi trascurare 1, ottieni ln(exp(nx)) = nx. Quindi infine 1/n * nx = x.
Dato che è il limite per n-->infinito di f(x) è uguale a x, per definizione la convergenza la hai quando è zero, quindi x=0.

NameNick321

Giulio_M ho chiesto la uniforme non la puntuale.

Giulio_M

NameNick321 oddio, perdonami ma sono sempre disattento 😅
Convergenza uniforme significa quindi trovare il limite superiore, punto di massimo. Facciamo la derivata prima (df/dx) che è pari a (1/n) * 1/(1+e^nx) * n = 1/(1+e^nx)
Questa funzione non ha punto di massimo (f'(x) è sempre maggiore di zero), poiché f-->0 solo quando x-->infinito.

NameNick321

Giulio_M x=0 non rappresenta il sup? Perché comunque so che dalla definizione di convergenza uniforme si richiude che il sup di |fn(x) - f(x)| tenda a 0 e il sup é una condizione più debole di massimo

Giulio_M

NameNick321 non credo, perché il massimo lo hai (essendo punto stazionario) quando f'(x)=0 e f'(x) tende a zero solo quando x tende ad infinito, essendo f'(x)=1/(1+e^nx).
Non conosco in modo rigoroso le definizioni, ma per logica mi sembra così.