Come si prova che l’integrale definito di una funzione costante è dato

NameNick321

Dalla sua lettera che moltiplica (b-a) con “b” estremo superiore di integrazione e “a” estremo inferiore di integrazione, senza ancora introdurre la Formula di Torricelli G(b)-G(a) con G primitiva?

Esempio h:[a;b]—>R definita da h(x) = c (costante)
Allora S a,b di h(x) dx = c(b-a)
Senza ancora aver introdotto la formula di Torricelli che tiene conto delle primitive che in questo caso, di funzioni costanti, non vanno determinate

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 beh, è semplicissimo. Partendo da questo: ∫ c dx, con estremi a e b, ovviamente qui non riesco a fare la simbologia dell'integrale definito.
Lo riscrivi come:
c * ∫ 1 dx = c * x|[a;b] = c * (b - a)
Dove con x|[a;b] ho indicato x, da sostituire negli estremi a e b. Questo perché ∫ 1 dx = x, poi sostituisci gli estremi. Quindi lo dimostri in questo modo.

NameNick321

Giulio_M si va bene ok, questo lo so fare ma mi sembra che comunque tiene conto della formula di Torricelli e la determinazione della primitiva (da 1 scrivi x cioè integrale indefinito)

Da quello che ho capito vuole una dimostrazione con una sorta di somme inferiori, superiori e partizioni … ma nella dispensa manca la dimostrazione 🙁

NameNick321

Giulio_M cioè questa non è una dimostrazione ma un semplice applicare una formula. La dimostrazione invece deve usare i concetti teorici. Fino a quel momento erano state fatte partizioni, somme inferiori, superiori, condizione necessaria e sufficiente per avere l’integrabilità secondo Riemann su [a;b], definizione di funzione integrabile secondo Riemanm su [a;b], raffinamento di partizioni, proprietà delle partizioni, funzione localmente integrabile su I, classi di funzioni integrabili secondo Riemann, funzioni generalmente continue su I e continue a tratti su I. Quindi va usato qualcuno tra questi concetti, credo

Giulio_M

NameNick321 non ne ho idea, questa chiaramente mi pare la procedura più sensata... E anche l'unica che mi verrebbe in mente.

NameNick321

Giulio_M @Giulio_M @zeunig356 ma invece come significato geometrico di “media integrale” va bene come risposta “è il valore che una funzione costante deve assumere su [a;b] per avere lo stesso integrale di f su [a,b] ?” Sulla dispensa più di questo non c’è scritto. Cosa potrei dire per allungare il discorso sul significato di media integrale?

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 se puoi aiutarmi 😭

zeunig356

Nel modo tradizionale secondo la definizione.
Dividi l'intervallo [a,b] in n parti uguali Dx = (b - a)/n

Area del singolo rettangolo Sk = bk hk = Dx * c = c * (b - a)/n
Somma delle aree dei rettangoli

Sn = Somma_k:1->n c * (b - a)/n = c * (b - a)/n * n = c * (b - a)
S = lim_n->oo Sn = lim_n->oo c(b-a) = c ( b - a )

Il teorema di Torricelli serve ad evitare di dover calcolare questo limite.

NameNick321

zeunig356 grazie. Si ok la formula di Torricelli lo so come si applica ma vuole la dimostrazione senza usarla perché quell’argomento è stato fatto ben prima della formula di Torricelli e relativa sua dimostrazione nella quale si usa anche la funzione integrale, altro concetto che si spiega dopo. Quindi non vuole che dimostriamo una cosa che ha spiegato usato concetti introdotti dopo

zeunig356

NameNick321 Esatto. La formula di Torricelli ha sbloccato qualcosa che giaceva seppellito nel ghiaccio da 1800 anni. Perché tranne che per poche funzioni ( costanti, polinomi, esponenziali ) il calcolo di quel limite é impossibile
perché non si riesce a dare alla somma una forma chiusa.