e^-x^2 non ammette primitive?

NameNick321

Non ho capito se è una di quelle funzioni che non ammette nessuna primitiva oppure le ammette ma è impossibile calcolarle e determinarle esplicitamente coi metodi tradizionali di risoluzione degli integrali.

Se mi chiede esempi di funzioni che non ammettono primitive cosa posso dire? La funzione segno di x va bene? Il gradino H di Heaviside ammette primitive? Dire “una qualsiasi funzione con punti di discontinuità eliminabili / singolarità di prima specie” è giusto o no?
@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 e^-x² è una di quelle funzioni che non ammette primitive elementari, motivo per cui è stata definita la cosiddetta error function (o erf(x)), in questo modo:
$error function, formula$
Quindi la funzione erf(z) è questo integrale, i valori sono poi tabellati (banalmente, risoluzione numerica dell'integrale definito), l'argomento "z" significa che appunto calcoli l'integrale definito fra 0 e z.

Notare la similitudine con la distribuzione normale, curva di Gauss (con una semplice sostituzione, ti riconduci a questa; la densità di probabilità è espressa come:
$densità di probabilità curva di Gauss$

zeunig356

Le primitive esistono come per ogni funzione continua ma non sono esprimibili in funzioni elementari.
Funzioni che non ammettono primitive
Ti conviene cercarle su Intenet. Il gradino
ha per primitiva la rampa lineare.

NameNick321

Giulio_M a un altro ragazzo all’orale ha chiesto di elencare una serie di funzioni che non ammettono alcuna primitiva (quindi né elementari né tutto il resto) ma cercando su Internet ho trovato poco, soprattutto tipo una funzione col seno ma non è così semplicissima da imparare a memoria. Ma dire la funzione segno non va bene? O in generale una qualsiasi con discontinuità eliminabili o di prima specie?

Giulio_M

NameNick321 credo di sì, sign(x) - funzione segno - dovrebbe appartenere a questa lista (poi più formalmente, discontinuità eliminabili ecc, non ti so dire con certezza).
Credo di aver capito la funzione a cui ti riferisci, anche se non ho idea di come ritrovarla, ricordo che ad analisi 1 c'era stata presentata come funzione non derivabile (quindi anche non integrabile), era appunto una funzione goniometrica il cui andamento sembrava fatto in stile frattale, da quanto ricordo.
Poi non so come il docente possa eventualmente valutare una risposta del genere: <<ad esempio e^-x², che non ammette primitiva elementare, può essere risolta tramite la funzione errore, valori che sono tabellati...>>.
Quanto detto è corretto (sottolinea il termine "elementare"), dimostra che conosci il caso e^-x², la funzione errore, quindi ciò che affermi è comunque corretto.