Integrale

NameNick321

Ho integrale di 1/ (x² + 5)

Ho posto x = rad5 sinh (t)
dx = rad5 cosh dt

Alla fine mi viene integrale S1dt = t+ c ma come si scrive con la “x”?

Dovrebbe fare ln | x + rad (x² + 5) | + c ma come ci arrivo? @Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 va beh ma per questo problema eviterei sostituzioni (comunque t=sinh(x) non è invertibile essendo t = sinh(x) = (1/2)(e^x-e^-x), non riesci insomma a scriverlo come x=[...]). Oltre a quanto hai fatto tu, si può risolvere col logaritmo (immagino prima ponendolo nella forma "1+qualcosa", ad occhio vedendo la soluzione) ma è più complicato. Un'altra primitiva prevede l'arcotangente ed è sicuramente più semplice da risolvere in questo modo!

Premessa: d/dx arctan(x) = 1/(x²+1)

Quindi, per il tuo caso riscrivi: ∫ (1/5) * 1/(x²/5 + 1) dx = (1/5) * ∫ 1/((x/√5)²+1) dx
E lo risolvi in modo immediato: (1/5)arctan(x/√5) + C

LaMariaRosa 🇯🇵

NameNick321
Se taggavi me lo risolvevo io

NameNick321

Giulio_M scusa ho sbagliato. Il denominatore è tutto sotto radice quadrata (il resto di quello che ho scritto non cambia)

Quindi non penso si può fare con arctg

zeunig356

E' un caso particolare di S dx/sqrt(x²+a²)
il quale può essere risolto (è lungo!)
con la sostituzione t-x = rad(x²+a²).