NameNick321 Quindi se ho il flesso a tangente orizzontale allora il punto stazionario non è per forza un punto di estremo locale?
Esatto, la definizione di "estremo relativo" o "estremo locale" (sono sinonimi) è che sia un punto di massimo o di minimo locale, NON punto di flesso. Quindi come dici tu, l'esempio x3 non lo è mentre ±x2 sì (rispettivamente, massimo o minimo a seconda del segno). La dimostrazione rigorosa, da quanto leggo direi che è nel Teorema di Fermat sui punti stazionari (da non confondersi con altri teoremi di Fermat).
La seconda domanda: certamente punto di flesso devi avere sia f'(x)=0 sia f"(x)=0 quindi funzione derivabile almeno due volte. Esempi in cui accade o non accade si intende esempi in cui la funzione è derivabile due volte oppure non lo è? Non sono sicuro, ma forse tipo x(ln(x)-1) che è l'integrale indefinito di ln(x) quindi appunto f'=ln(x) e f"=1/x, non è derivabile in x=0 (mentre comunque f(0)=0, come limite in realtà essendo ln(0) non definito). Conseguenze grafiche, è più facile intenderlo sulla derivata prima ovvero se la derivata prima tende a ±infinito,quindi non derivabile nel punto, hai tangente verticale.
