Dubbio esercizio su equazione differenziale

NameNick321

08/06/2023

y’ = (lnx/x) + y * ln(x²) / x

“Dopo aver determinato l’ integrale generale, determina le eventuali soluzioni limitate dell’equazione differenziale”

All’ integrale generale credo di esserci arrivato, quello segnato in giallo. E ora? Come continuo? Non sono tutte limitate? Cosa significa limitate? Che il loro dominio non è R? Dato che ho il logaritmo il dominio è ]0;+inf[ e questo credo indipendentemente di ogni c appartenente ad R. C’entra qualcosa questo? Cioè non so cosa devo scrivere per rispondere a questa seconda parte.

@Giulio_M @zeunig356

zeunig356

Sostituisci nell'equazione e vedi se si trova.
Se è corretto la soluzione è definita in ]0,+oo[
ed è limitata solo se C = 0 perché il primo addendo se c'è tende a oo per x che tende a +oo.

NameNick321

zeunig356 scusa non ho capito… perché per x che tende a +infinito? Da dove spunta il limite? Inoltre cosa devo sostituire?

Se c=0 allora y(x) = -1/2

NameNick321

zeunig356 facendo ilimite per X che tende a infinito per caso fa:

-1/2 se c=0
+inf se c>0
-inf se c<0

???

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 , è giusto il limite riscritto in questo modo?

Giulio_M

NameNick321 sì, certo! Dato che e^{ln² x} tende a +inf, se lo moltiplichi per C>0 diverge positivamente, C<0 diverge negativamente, C=0 invece è zero.

zeunig356

Il dominio si estende fino all' infinito e la funzione non è limitata se ha limite infinito

NameNick321

Giulio_M ok ma quindi l’unica soluzione limitata è y(x) = -1/2 (avendo posto c=0) mentre per c≠0 non si hanno soluzioni limitate?

Giulio_M

NameNick321 sì, certo confermo. Dato che l'esponenziale tende ad infinito (per x tendente ad infinito), l'unico modo per "annullare" l'effetto è con C=0, viceversa appunto diverge positivamente o negativamente.