Serie numerica es

NameNick321

Ad esempio non so se è corretto scrivere sin 1/n² = 1/n² -1/6 * (1/n²)³ + o ( (1/n²)³ ) , n—>+inf

Più che altro quello dentro l’o-piccolo, non so se si scrive in questo modo. Ma più che altro è così fondamentale scriverlo? Se non lo scrivo direttamente è errore?
Comunque a parte quello il resto è giusto? Non lo so, io ci ho provato. @Giulio_M @zeunig356

Arctg [(1/8)ⁿ ] / [ 1/n² - sin (1/n²) ]

Giulio_M

NameNick321 sì, certo che puoi linearizzare. La forma corretta in questo caso è +o(1/n⁸) , dato che in realtà con il seno non ti sei fermato al primo ordine (quindi in generale +o(x²)) ma il secondo termine è nullo e hai messo anche il terzo termine, quindi sarebbe +o(x⁴), in questo caso allora è corretto scrivere +o(1/n⁸).
Poi verifico meglio i conti, guardando i passaggi la procedura è corretta.

NameNick321

Giulio_M ma il secondo termine è nullo

In che senso? Il secondo termine non è: -1/6 *( 1/n²)³ ?

Giulio_M

NameNick321 con 1/6, non 1/3, comunque sarebbe il terzo termine dato che il secondo è nullo.
Per non fare confusione, consideriamo semplicemente sin(x).
sin(x) ≈ x + 0 - (1/6)x³ + o(x⁴)

NameNick321

Giulio_M ah ma tu con secondo intendi x², pensavo con secondo in ordine per come appaiono quindi il primo x, il secondo -1/6 x³

NameNick321

Giulio_M ma quindi se mi fermo a x cioè a 1/n² era “+ o (x²) ?

Giulio_M

NameNick321 eh no, non va indicato "secondo in ordine per come appaiono" (come se non esistessero i termini che si annullano), ovvero anche i termini nulli vanno comunque considerati. Quindi se indichi l'errore con l'o-piccolo, è importante indicare l'ordine corretto, se hai fatto lo sviluppo fino al terzo ordine (x³) l'errore è di ordine 4 quindi +o(x⁴).
In questo caso se al posto di x avevi 1/n², semplicemente sostituisci, quindi +o(1/n⁸).

NameNick321 ma quindi se mi fermo a x cioè a 1/n² era “+ o (x²) ?

Sì, esatto!

NameNick321

NameNick321 cioè +o ( (1/n²)²) = + o (1/n⁴) ?