NameNick321 Innanzitutto si tratta di una serie a termini positivi per ogni alfa appartenente ad R? Come si prova?
Sì e la verifica la fai semplicemente (in questo esercizio così come per gli altri) tramite lo studio del segno, come se fosse la parte dello studio di una funzione. Quindi è una fratta, numeratore sempre positivo, denominatore anche sempre positivo. Il tutto moltiplica nalfa, termine sempre positivo per ogni alfa appartenente ad R. Infatti se fai il grafico (con n sempre positivo) di n2, n3 o anche 1/n, 1/n2 ecc, è sempre un termine positivo.
Il denominatore volendo lo potresti studiare con Taylor - Mc Laurin (ormai esce dalle orecchie sto nome, ma come vedi è utilissimo 😅), dato che n-->inf, y-->0 quindi linearizzando sin(y) avresti a denominatore: y - (y - y3/6) = +y3/6, quindi significa che 1/n > sin(1/n) per n positivo, anche il denominatore è sempre positivo. Numeratore anche, il logaritmo è negativo quando l'argomento è compreso fra 0 e 1, quindi se la serie parte da 1, il numeratore è sempre positivo.
Ovviamente le considerazioni valgono nel dominio [1,+inf) (se fosse un integrale improprio diresti anche da 0, qui con le serie esendoci solo numeri interi parte da 1).
Dato che la serie è asintotica a n/(n3/6) * nalfa = (1/6) * nalfa-2 = (1/6) * (1/n)2-alfa, la condizione di convergenza è 2-alfa>1 quindi alfa<1.
