Convergenza integrale

NameNick321

Con questo chiudo per oggi. Non capisco perché si sia considerando anche il caso x—>0+ considerando che il denominatore si annulla solo per x=-1 ma l’intervallo va da 0 a +inf.

Tutto l’integrale secondo me dovrebbe convergere solo per alfa compreso tra 0 e 2 (non alfa <2 perché all’inizio il testo dice alfa>0) quindi considerando solo il confronto asintotico x—>+inf

Se x = 0 si annulla il numeratore e fa tutto 0 e quindi? Sarebbe un problema questo? Perché dice che è continua in ]0 ; +inf[ e non [0;+inf[ ??? Negli altri esercizi non mi sembra ci siano stati problemi del genere in cui va escluso anche ciò che azzera tutto

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 Non capisco perché si sia considerando anche il caso x—>0+ considerando che il denominatore si annulla solo per x=-1 ma l’intervallo va da 0 a +inf.

Solo perché in questo caso hai un parametro ancora da determinare (alfa, appunto). x^2alfa equivale a 1/x^-2alfa, converge se -2alfa>1 quindi alfa>-1/2. Questo perché in un grafico del tipo y=1/x o y=1/x², se parti dallo zero avresti comunque singolarità, non so se mi spiego... Ragionalo col fatto che x^2alfa equivale a 1/x^-2alfa, quindi è come se guardassi il grafico ribaltato, studi sia la convergenza ad infinito, sia allo zero, essendo simmetrico e quindi situazione analoga.
Poi il comportamento ad infinito è più semplice da gestire, asintotico a x^2alfa/x⁵ = 1/x^5-2alfa, appunto 5-2alfa>1.

NameNick321

NameNick321 Tutto l’integrale secondo me dovrebbe convergere solo per alfa compreso tra 0 e 2 (non alfa <2 perché all’inizio il testo dice alfa>0)

@zeunig356 è quello che ho scritto

NameNick321

Giulio_M ma quindi se ho dei parametri mi conviene fare sempre il confronto asintotico per entrambi gli estremi di integrazione?

Giulio_M

NameNick321 ok allora in questo caso lo studio per x-->0 è un po' superfluo. Resta valido quanto detto in generale (Giulio_M), che quindi devi avere alfa>-1/2. Puoi allora verificare questo, dicendo poi che da consegna alfa>0 pertanto il vincolo alfa>-1/2 non ti crea restrizioni per quanto riguarda lo studio in x-->0.

Giulio_M

NameNick321 beh se l'altro estremo non ti crea mai "problemi", non serve. In questo caso però, essendo 0, avresti x^2alfa quindi 0 fintanto che l'esponente è positivo, mentre se è negativo, sai che diventa 1/x^qualcosa e quindi fondamentalmente 1/0, allora devi studiare l'esponente, appunto 1/x^qualcosa, qualcosa>1 per avere la convergenza. Il concetto è questo 🙂

zeunig356

Io direi 0 < alfa < 2 se all'inizio ha detto alfa > 0

NameNick321

zeunig356 si arrivava già a questa conclusione considerando solo il caso x—>+inf e non anche x—>0+ non so se è solo una causalità quindi un colpo di fortuna oppure se è un errore non considerare il caso 0+ e va quindi fatto necessariamente

NameNick321

Giulio_M quindi 0 fintanto che l'esponente è positivo,

Ma nella consegna c’è scritto che il parametro è positivo