NameNick321 per quanto riguarda la convergenza, il procedimento e risultato è corretto. Il "problema" eventualmente lo ha nel punto x=0 (arctan(0)=0, quindi essendo un fattore, andrebbe ad annullare il denominatore). Partendo da 1 non ci sono problemi di continuità e derivabilità nel range [1,inf).
Quindi nel punto x=1 avrà semplicemente un valore finito (pari a 8/(π2+8π) ≈ 0,229) mentre per x-->infinito, è questo che devi studiare, è corretto come hai fatto tu, nei due fattori (1+x2) e (arctan(x)2+2arctan(x)), il secondo è un valore finito, il primo hai x2>>1 quindi in definitiva è asintotico a 1/x2, convergente.
Poi per determinare il valore, si tratta appunto di risolvere l'integrale. Non ho controllato tutti i conti, ma non credo sia corretto poiché ln(π/4)-1/2 comporta un numero negativo sotto radice quadrata, soluzione complessa e non reale.
Come risoluzione numerica (ho scritto due righe di codice in JavaScript) risulta circa 0,222.
var ris=0;
var N=10**9;
var a=1;
var b=10000000;
var h=(b-a)/N;
function f(x){
return 1/((1+x*x)*(Math.atan(x)**2+2*Math.atan(x)));
}
for(i=0;i<N;i++){
ris+=0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h));
}
ris*=h;
document.write("ris="+ris+"<br>")
