Convergenza integrale improprio

NameNick321

Segnato in giallo:

Caso [1]
Perché “e^-x - 1” ~ x?

Ciò non vale solo se la x dell’esponente di “e” ha segno positivo e inoltre non dovrebbe essere il tutto fratto x, seguendo il limite notevole?

Segnato in blu:

Caso [3]

1/ (1-x) converge se l’esponente è minore di 1? A me non sembra l’integrale notevole. L’estremo inferiore è 1/2. L’integrale era notevole se al denominatore avessi agito (x-1/2)

Infatti nel caso precedente cioè il [2] l’estremo inferiore era 0 e avevamo infatti al denominatore x-0 dunque è giustamente un integrale notevole che converge se il suo esponente è minore di 1. Ma ripeto, il caso [3] mi sembra tutto tranne notevole
@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321

per il caso evidendiato in giallo: dagli sviluppi in serie di Taylor - Mc Laurin, per x-->x0 abbiamo:
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0) + O(x²)
Quindi se x=0 e f(x)=e^-x, abbiamo: f(x) ≈ e⁰ + (-e⁰)x = 1 - x
Infatti da questa uguaglianza, l'esercizio pone: -(e^-x-1) ≈ x, appunto per x-->0; nota il segno meno davanti al primo membro.
per il caso evidenziato in blu: il problema da studiare non è quando x=1/2 ma quando x=1 dato che annulla il denominatore. In realtà se ci pensi è analogo, classico grafico xy, se cambi le variabili da y=1/x hai x=1/y quindi sempre lo stesso comportamento asintotico: vale a dire, andando ad infinito con x, andando a zero con y. Quindi hai il solito criterio di convergenza 1/x^alfa, alfa>1 (in questo caso avevi segno opposto ovvero -x e 4alfa, il concetto comunque è questo)

NameNick321 e se fosse stato uguale ma con esponente +x anziché -x per cosa era ~ ?

Ovviamente in quel caso, sempre per x-->0 avresti: e^x ≈ 1+x. La formula di base è sempre la stessa:
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0) + O(x²)

NameNick321

Giulio_M e se fosse stato uguale ma con esponente +x anziché -x per cosa era ~ ?