Convergenza integrale improprio

NameNick321

Perché y + rad y = rad y?
(Evidenziato in giallo)
Perché scompare la y senza radice? Vuol dire che la radice prevale molto di più rispetto alla y senza radice? Perché?

Inoltre come dimostra che l’ integrale evidenziato in blu converge? A me non sembra un integrale notevole quindi per dimostrarlo non si dovrebbero fare tutti i calcoli col limite per c che tende a 0+?

Io li ho fatti e viene 6/5 quindi si converge, ma teoricamente la dimostrazione della convergenza non va fatta col calcolo dell’ integrale stesso (che senso ha allora?) ma va fatta tramite confronti e integrali notevoli che si sanno già a priori che convergono….
@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 Perché y + rad y = rad y?
Perché scompare la y senza radice? Vuol dire che la radice prevale molto di più rispetto alla y senza radice? Perché?

Dai, cerca di ricordare la gerarchia di infiniti e infinitesimi!! La stessa che hai quando hai a che fare con i limiti. Quindi:

per y-->0: √y >> y >> y² >> y³
per x-->infinito: ln(x) << √x << x << x² << x³ << e^x

Quindi in questo caso y-->0 e ha semplificato, trascurando il termine y xhe è molto minore di √y appunto perché siamo nel caso y-->0.

Per la convergenza, moooolto sbrigarivo è stato, ma in pratica dice questo: arctan(y) ≈ y, poi sin(y) ≈ y quindi dato che era arctan(x^1/3), nell'intorno di y-->0 hai: y^1/3/(y+√y), xome detto prima √y>>y e quindi y^1/3/y^1/2 = y^-1/6

NameNick321

Giulio_M

Si ok ma per la parte in blu? Quello converge e come lo dice? Non mi sembra notevole, ovvio. Io ho fatto tutti i calcoli col limite arrivando a un valore finito, ma non mi sembra un modo accettabile per provare la convergenza (mi riferisco a quello in blu)… non dovrebbe fare un ulteriore confronto per provare che quello in blu converge?

Giulio_M

NameNick321 praticamente lo risolve come integrale definito. Diciamo che essendoci x a denominatore, il punto problematico casomai è x=0, per il resto è una funzione continua, derivabile nell'intervallo.
Quindi per stabilire che converge in prossimità di x=0 (questo tramite linearizzazione, per renderlo più semplice - e qui fa il passaggio da integrale di partenza alla parte evidenziata in blu), per il resto si tratta quindi alla fine di un integrale definito, fra 0 e 1, di una funzione che è continua e derivabile nell'intervallo.

NameNick321

Giulio_M si ma non è un integrale definito perché l’estremo inferiore é 0 ma il denominatore si annulla per 0 quindi è improprio e non definito anch’esso. Io l’ho fatto con il limite che tende a 0+ …

Giulio_M

NameNick321 esatto, intendevo dire che una volta studiato il punto x-->0, se ci pensi per il resto è al pari di un integrale definito di una funzione continua e derivabile (quindi per x strettamente positivo) e quindi non ti crea problemi per la convergenza.

NameNick321

Giulio_M intendevo dire che una volta studiato il punto x-->0, s

Ma tutti gli integrali impropri si calcolano cosi (che poi sia che tende a 0 oppure a +infinito) ma non è così che si dimostra che converge …