Questo era l’integrale improprio del compito

NameNick321

Quello che ho lasciato in bianco. Per quanto riguarda la dimostrazione della convergenza penso vada fatta sempre con il criterio del confronto asintotico ( f ~ g, ma chi é g?) , ma non so applicarlo, mentre il calcolo del valore boh, penso che 1 non sia un punto problematico quindi va fatto direttamente per c che tende a + infinito di una primitiva. Ecco quale sarebbe la primitiva

@Giulio_M @zeunig356

NameNick321

zeunig356

L'integrando ha limite finito intorno a 1 e va come 1/x² in un intorno dell'infinito, per cui converge.

Posto arctg x = u ti esce

S_[pi/4, pi/2] 1/(u² + 2u) du

e lo sai fare come S_[pi/4, pi/2] (A/u + B/(u + 2)) du

Au + 2A + Bu = 1

A + B = 0

2A = 1

A = 1/2 e B = -1/2

1/2 S[pi/4, pi/2] (1/u - 1/(u + 2) du = 1/2 [ ln | u/(u + 2) |][pi/4, pi/2]

NameNick321

zeunig356 L'integrando ha limite finito intorno a 1 e va come 1/x2 in un intorno dell'infinito, per cui converge.

Come si spiega questa cosa?

zeunig356

Ai fini della convergenza é come se fosse S_[1,+oo] 1/(1+x²) * K dx che converge ( elementarmente )

NameNick321

zeunig356 no ho capito perché tutti gli arctg si riducono a una semplice k

zeunig356

Perché l'arcotangente ha limite finito all'infinito. E in un intorno di quest'ultimo la funzione di cui é argomento
é continua.

Quindi quanto più ti allontani dall'asse y il secondo fattore si avvicina a 1/(pi²/4 + pi) = 4/(pi² + 4 pi)

che é il nostro k

NameNick321

zeunig356 ma è giusto dire che f ~ g con g = 1/ x² per x che tende a +inf ?

zeunig356

sì, é giusto. Infatti il lim_x-<+oo f/g = L finito e diverso da 0.

NameNick321

zeunig356 ma il fatto che si prenda 1/ x² anziché 1 / (x² + 1) (come nell’integrale di partenza deriva dal fatto che va a + inf quindi x² + 1 ≈ x² ?

zeunig356

certo, é un ottimo motivo

oppure il fatto, ad esso equivalente, che lim_x-<+oo 1/(x² + 1) : 1/x² = 1