Domande di teoria (analisi)

NameNick321

Riguardo le equazioni differenziali queste sono alcune tra le tante domande che potrebbe chiedere all’orale.

1)” Enunciare alcuni risultati che garantiscono l’esistenza e l’unicità della soluzione di un problema di Cauchy”
Cioè non ho proprio capito la domanda…risultati in che senso?

2) dimostra che una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di una equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine omogenea è ancora soluzione della medesima equazione.

3) enuncia e dimostra una condizione necessaria e sufficiente affinché due soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine siano linearmente indipendenti.

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 2) dimostra che una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di una equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine omogenea è ancora soluzione della medesima equazione

Wow, qui come esempio ti sfoggio Schrödinger della meccanica quantistica! Ci metterò tre ore a scriverla con i vari simboli, ma va bene 😁

Equazione nel caso 1D: iħdΨ/dt = VΨ - ħ²/(2m)d²Ψ/dt²
Equivale a dire: iħdΨ/dt - VΨ + ħ²/(2m)d²Ψ/dt² = 0

Ψ = Ψ1 + Ψ2, semplice combinazione lineare. Quindi ora sostituiamo, se viene verificata l'equazione anche con questa sostituzione, è la prova che l'equazione differenziale è lineare (infatti la combinazione lineare è sempre soluzione dell'equazione).

Sostituzione(applico già la proprietà distributiva): iħdΨ1/dt + iħdΨ2/dt = VΨ1 + VΨ2 - ħ²/(2m)d²Ψ1/dt² - ħ²/(2m)d²Ψ2/dt²

Vediamo che possiamo semplificare i termini, dato che se ci fai caso, compare l'equazione di partenza per Ψ1 e per Ψ2 (che appunto l'equazione con tutti i termini a primo membro è uguale a zero). Quindi verificato! ✔️

zeunig356

1) Teorema i EU in piccolo e in grande ( sorry, non ricordo le dimostrazioni )

2) poni u = a1 y1 + a2 y2 e sostituisci sfruttando l'ipotesi

3) il Wronskiano é diverso da 0.

NameNick321

zeunig356 puoi fare la 2 in modo completo?

zeunig356

Non adesso,sto andando ad una sagra.

NameNick321

zeunig356 quando puoi per favore, nei prossimi giorni…

NameNick321

Giulio_M grazie ma in sede orale di analisi non vorrei dover parlare di Schrödinger 😭 l’ho già odiato in chimica. Penso vada fatta la dimostrazione rigorosa di analisi, non esempi di altre materie

Giulio_M

NameNick321 ok va bene, allora puoi fare così, più semplice:
Equazione di partenza (2° ordine lineare omogenea): Y" + Y' = 0
Sostituzione di una combinazione lineare (oppure fai anche alfaY1+betaY2, è la stessa cosa): Y = Y1 + Y2
Sostituendo: Y1" + Y2" + Y1' + Y2' = 0
Quindi raggruppo per semplicità: (Y1" + Y1') + (Y2" + Y2') = 0
Entrambi i termini sono uguali a zero (vedi eq. di partenza), quindi è verificato