Derivata e segno

Giulio_M

NameNick321 sicuramente ti risulta più comodo scrivere tutto sotto forma di potenza, quindi ad esempio "radice quinta di x" lo scrivi come x^1/5. Il calcolo delle derivate, di per sé è cosa abbastanza fattibile.
Dopodiché, per lo studio del segno, avendolo scritto sotto forma di potenza, raccogli ciò che puoi raccogliere e poi come sai, in una fratta il segno è positivo se numeratore e denominatore sono concordi (++ o --), viceversa il segno è negativo (+- o -+). Diciamo che se riesci ad accorpare i termini, ti risulta più agevole fare i conti.

NameNick321

Giulio_M

1/5 * (x+1)^-4/5 -1/5 * (x+1)^-1 * (x+1)^-1/5 >0

A me non sembra facile, poi anche la derivata seconda…

Giulio_M

NameNick321 beh per carità, semplicissimo no, ma intendo dire che seguendo le rebole di derivazione, ti risulta più comodo lavorarci se è scritto sotto forma di potenza quindi es. (x+1)^-4/5 piuttosto che vederlo come l'inverso della radice quinta di (x+1) elavato alla quarta, anche se è uguale. Questo intendevo dire, poi certo trovarlo in un esercizio, è laborioso comunque arrivare fino in fondo.

NameNick321

Giulio_M bah in realtà non so se è più facile come potenze, scrivendola come potenze Photomath neppure la risolve. Mentre scritta con le radici si ed è lunghissimo

Perché a un certo punto ti ritrovi con un fattore del numeratore che viene {(1 + x) - [rad quinta di (1+x)³]} >0 e viene lunghissimo solo questo qui

zeunig356

Intendi (1+x)^1/5+(1+x)^-1/5 ?

NameNick321

zeunig356 in foto c’è scritta la funzione di partenza, quella del compito, e relativa derivata. Chiaramente mi riferisco allo studio del segno della sua derivata e poi si dovrebbe fare anche derivata seconda con relativo studio del segno per la concavità

NameNick321

zeunig356

Ma inoltre appurato che -1 è un punto di singolarità di seconda specie, si vede che quindi è anche di non derivabilita e per classificarlo dovrei fare limite dentro e sinistro della derivata prima di x che tende a -1. In questo caso quanto vengono?

zeunig356

Prova a scriverla come
y+1/y con y = (1+x)^1/5

NameNick321

zeunig356 e questo sarebbe maggiore di 0 per y>0

Cosa ho risolto?

NameNick321

NameNick321 @Giulio_M @zeunig356

L’insieme immagine della funzione é ]-inf; -2] U [2; + inf[ ???

Giulio_M

NameNick321 in realtà se definiamo l'immagine di una funzione come "l'insieme dei valori che la funzione assume nel proprio dominio", mi verrebbe da dire che va da -inf a +inf (non so se devi "spezzarlo" consierando il punto escluso x=-1, in ogni caso avresti comunque (-inf,+inf)U(+inf,+inf)).
Il dominio è (-inf, -1) U (-1, +inf), quindi in pratica tutto R escluso x=-1 dato che annulla il denominatore.
Quando x≈-inf, y(x)≈-inf, quando x≈-1, y(x)≈+inf (sia a destra che a sinistra del -1), quando x≈+inf, y(x)≈+inf.

NameNick321

Giulio_M ma dal grafico a me sembra che la y non esiste da -2 (escluso) a +2 (escluso)

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 secondo te?

Giulio_M

NameNick321 ah in questo senso ok ok. Forse non avevo ben compreso la definizione (dato che va comunque a +inf, quando x-->-1 sia da sx che dx).
Si certo, -2 e +2 sono comunque le intersezioni con gli assi (y=0, x=0).

NameNick321

Giulio_M si ma dico, se vedi la y non ha mai un valore compreso tra -2 e + 2 per nessuna x

Giulio_M

NameNick321 ok, confermo. Ho visto il grafico (tramite Google) ed è uguale al tuo screenshot, se scriviamo l'equazione come y=(x+1)^1/5+1/(x+1)^1/5
Prima invece io l'avevo scritta come y=(x+1)^1/5+(x+1)^-1/5 che algebricamente dovrebbe coincidere ma per qualche ragione il grafico risulta differente! Ovvero i termini per -1<x<0 vengono ribaltati come se ci fosse un valore assoluto. Se provi a confrontare i due grafici, noti questo.

NameNick321

Giulio_M su geogebra, di cui mi fido e che viene usato da tantissimi insegnanti di matematica e analisi matematica i grafici risultano identici con entrambe le scritture sia ^-1/5 che 1/…¹/5