Perché il primo fattore moltiplica solo la c?

NameNick321

e^-arctanx

Giulio_M

NameNick321 detesto questi esercizi con passaggi spiegati alla c... o peggio, non spiegati proprio. Facendo il grafico trovi che -(1/4) * e^(2x-arctan(x)) equivale a -(1/4) * e^2x
Sicuramente, come limite, 2x >> arctan(x) e quindi l'andamento asintotico rende il termine arctan(x) circa trascurabile rispetto a 2x e tendono quindi a coincidere. Dire però che siano equivalenti è un errore. Non mi risulta infatti corretto dire che 2x = 2x-arctan(x), questo è formalmente sempre corretto se e solo se arctan(x)=0. Altrimenti questa semplificazione NON si può fare, approssimazioni a parte, scritta così non c'è equivalenza ed è quindi un errore.

NameNick321

Giulio_M l’ha scritto il mio prof di analisi nel procedimento svolto di un esercizio del suo compito d’esame dell’anno scorso

Giulio_M

NameNick321 beh ma ti dico, se provi a fare l'equivalenza, è corretto se e solo se arctan(x)=0. L'equazione è questa, se esegui i passaggi... Non me lo spiego altrimenti. Un errore di disattenzione è comunque possibile (anche i miei docenti alcune volte sbagliavano un segno o dimenticavano un termine, alcune volte ci si accorge dell'errore, altre volte no, vale per tutti).

NameNick321

Giulio_M andava moltiplicato ogni termine per quel fattore penso. E andava lasciato con tutre le somme di moltiplicazioni no?

Giulio_M

NameNick321 sì, esatto! Semplice proprietà distributiva. Altrimenti, come vedi non è equivalente.

NameNick321

Giulio_M ma forse quell’e^-…
che si ripete per ogni termine così facendo potrebbe tutto essere inglobato in una costante C e quindi toglierlo? Dato che è un’equazione differenziale

Giulio_M

NameNick321 ah ok, allora se è una costante da determinare, ci può stare! Nel senso che rigorosamente NON è equivalente, ma appunto resta una costante da determinare (che quindi determini dopo). Mi spiego meglio con un altro esempio:
dy/dt=-ky --> dy/y = -kdt --> ln|y| = -kt +c --> y = e^-kt+c = e^c * e^-kt
Questo è corretto, ma in alcuni casi puoi semplicemente trovare l'ultimo passaggio scritto come y = c * e^-kt, oppure y = e^-kt + c. In ogni caso c resta una costante da determinare, quindi anche se non sarebbe formalmente corretto (nel senso che non è la stessa c di prima, insomma) questa costante la determini a posteriori tramite condizioni al contorno, quindi va bene.