Equazione differenziale

NameNick321

@zeunig356

zeunig356

Omogenea associata

y' = - y * 2x/(2 sqrt(x² + 3))

dy/y = - 2x dx /(2 sqrt(x² + 3))

ln |y| = - sqrt(x² + 3) + C

y = C e^(-sqrt(x² + 3))

Ora y(x) = u(x) e^(-sqrt(x² + 3))

e imponi che sia soluzione

u' e^(-sqrt(x²+3)) + u e^(-sqrt(x²+3)) * (-x)/sqrt(x² + 3)) +

u e^(-sqrt(x²+3)) * (x)/sqrt(x² + 3)) = x

u' = x e^(sqrt(x² + 3))

u(x) = 1/2 S 2x e^sqrt(x² + 3) dx =

= 1/2 S e^(sqrt(x² + 3)) d(x² + 3)

posto v = x² + 3

hai 1/2 S e^(sqrt(v)) dv che ponendo sqrt(v) = t diventa

1/2 S e^t * 2t dt che puoi svolgere per parti

Per la conclusione NON HO TEMPO

NameNick321

zeunig356 potresti terminarlo?

NameNick321

zeunig356

A me viene così ma online come soluzione me lo dà senza quel e^radice di x² + 3 . Ho svagato qualcosa??? O va bene anche così?

zeunig356

Ok. Eravamo arrivati a S e^t * t dt da svolgere per parti

Questo dà t e^t - S 1 * e^t dt = t e^t - e^t + C = sqrt(v) e^(sqrt(v)) - e^(sqrt(v)) + C

Pertanto, sostituendo all'indietro,

u(x) = e^(sqrt(x² + 3)) * (sqrt(x² + 3) - 1) + C

e infine y = C e^(-sqrt(x² + 3)) + sqrt (x² + 3) - 1

Sembra che sia giusto, infatti

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27+%2B+y*+x%2Fsqrt%28x%5E2%2B3%29+%3D+x

NameNick321

zeunig356

A me viene così

NameNick321

zeunig356 cosa ho sbagliato

NameNick321

NameNick321 perché mi viene un esponenziale in più???

zeunig356

Ricontrolla il mio svolgimento.

NameNick321

zeunig356

Ah ok ho capito. La particolare non è semplicemente c(x) ma c(x) * e^-rad…

Quindi l’ esponenziale si annulla

zeunig356

NameNick321 esatto, si semplifica nel prodotto con quello di esponente opposto.

NameNick321

zeunig356 si adesso mi torna tutto.