Calcolo dominio

NameNick321

Devo calcolare il dominio di una funzione integranda.

Gli estremi dell’integrale sono e^ pi greca sesti ed e^pi greca mezzi.

Le condizioni del dominio sono

1 + cos(lnx) >= 0
x>0
x * sin(lnx) ≠ 0

Infatti dentro L integrale ho al numeratore radice quadrata di ( 1 + cos lnx) e al denominatore (x sin lnx)

Devo trovare il dominio e appurare che gli estremi sono chiusi nel domf

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 studiamomil dominio. La prima condizione, 1+cos(ln(x))>=0 è sempre verificata poiché significa coseno(qualcosa)>=-1. Al denominatore è un po' più complesso perché, essendo un prodotto oltre a x≠0 hai anche sin(qualcosa)≠0 quindi il seno è zero quando l'argomento è -pi/2 o +pi/2. Quindi ln(x)=±pi/2, x=e^±pi/2.
Il punto e^-pi/2 è fuori dal range di integrazione mentre e^pi/2 è proprio uno dei due estremi e vale circa 4,81. Devi quindi escludere questo punto.
Il dominio di f in generale è x>0, esclusi tutti i punti x=e^±pi/2+kpi ovvero dove si annulla la funzione seno.
All'interno del range di integrazione, il dominio è x>0 escuso l'estremo di integrazione e^pi/2. L'altro invece, e^-pi/2 non ti interessa poiché è inferiore a e^pi/6, quindi minore del primo estremo di integrazione.

NameNick321

Giulio_M escuso l'estremo di integrazione epi/2

Ma come escluso? Ma é ammissibile che un estremo di integrazione non sia incluso nel dominio???

Giulio_M

NameNick321 beh sì (analogo a come se fosse escluso un altro punto interno al dominio). Lo puoi risolvere perché (ora non so cosa potrà mai risultare) il risultato dell'integrale non è detto che abbia la stessa esclusione di dominio (risulta una funzione che non ha problemi in quel punto, ad esempio) e quindi puoi sostituire entrambi gli estremi. Se è escluso, di fatto è un po' come fosse un limite, formalmente calcoli il valore nell'intorno del punto, da sinistra (dato che questo punto è l'estremo di destra).

NameNick321

Giulio_M ma io sapevo che posso procedere col risolvere l’ integrale definito solo dopo aver appurato che l’intervallo di integrazioni estremi inclusi è chiuso nel dominio. Dato che in questo caso un estremo non lo é in teoria allora f non appartiene a Riemann (intervallo) ,no?

Giulio_M

NameNick321 oddio, quanto a formalismo teorico, non è che mi ricordi molto. Anzi, questa verifica negli integrali nemmeno la facevo ad analisi1 (veniva semplicemente richiesto di risolvere l'integrale... Questo ricordo).
La condizione di integrabilità sicuramente è meno restrittiva rispetto alla derivabilità quindi come dicevo, ci sono casi in cui puoi comunque risolvere l'integrale anche con un estremo di questo tipo. Se poi a livello di formalismo vada indicato, di preciso non so, penso comunque che nell'esercizio, scrivere questo aspetto (escluso il punto estremo del dominio di integrazione...) dimostra che li hai notato, verificato, quindi credo chs vada bene.