Integrale proprio dubbio

NameNick321

Nella parte evidenziata in giallo che fine fa il cosx inoltre a moltiplicare il dt non dovrebbe esserci qualcosa come la derivata dell’arco seno?

t = sin(x) quindi dovrei isolare la X e fare la derivata e quello che ottengo va moltiplicato per dt , no? Allora perché non fa niente di tutto ciò?

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 in effetti sì, rigorosamente hai: t=sin(x) quindi x=arcsin(t), dx=1/√(1-t²) dt
Nell'integrale, oltre a quanto scritto hai quindi anche questo termine che moltiplica: cos(arcsin(t))/√(1-t²)
Diciamo che non è spiegato, ma l'ho verificato con la calcolatrice (che diamine, forse uno doveva conoscere questa relazione trigonometrica?), risulta pari a 1.
Quindi formalmente, come ho indicato io, questo termine andrebbe aggiunto, altrimenti la procedura di sostituzione non è corretta. Se poi si semplifica essendo pari ad 1 (e funzione comunque definita in questi estremi), è un passaggio successivo.

NameNick321

Giulio_M il mio prof ha scritto direttamente così. Ma io che svolgo l’esercizio come dovrei fare a sapere una cosa del genere 😭😭😭

Esistono 192992 formule trigonometriche… al compito come faccio a saperle tutte. É impossibile. Basta scordarne mezza e ti salta tutto l’esercizio

Quindi in generale ogni volta che pongo sin(x) = t e ho anche cos(x) a moltiplicare tutto l’integrale, come questo caso allora direttamente sostituisco a ogni sinx la “t” e al posto di cosx direttamente 1dt cioè dt?

NameNick321

Giulio_M in generale dunque cos(arcsin (x)) = rad (1-x²) sempre???

E ci sono altre relazioni simili che coinvolgono anche seno e arco coseno?

Formule mai viste in vita mia.

Giulio_M

NameNick321 bo infatti, ciò nom toglie che, alla peggio, ti porti dietro tutti i pezzi e lo risolvi in un altro modo. Magari con qualche passaggio in più, ma non sempre per ls risoluzione occorre ricordare una specifica formula (se la sai, velocizzi le cose).

NameNick321 Quindi in generale ogni volta che pongo sin(x) = t e ho anche cos(x) a moltiplicare tutto l’integrale, come questo caso allora direttamente sostituisco a ogni sinx la “t” e al posto di cosx direttamente 1dt cioè dt?

Beh sì, se è come in questo caso, sì (poi nella pratica non so quanto di frequente possa capitare in un esercizio, prima volta che lo vedo, appunto).

NameNick321 in generale dunque cos(arcsin (x)) = rad (1-x²) sempre???

Sì, ti dico anche io non conoscevo questa relazione, provando sia a tracciare il grafico, sia sostituendo i valori, è così l verificato, quindi confermo.
Sicuramente ci potranno essere altre formule analoghe, ad esempio sin(arccos(x)), suppongo, anche se nello specifico non le conosco.

Giulio_M

NameNick321 ok, mi è venuta l'illuminazione!
cos(arcsin(x)) = √(1-x²), lo verifichi tramite le derivate!
-sin(arcsin(x)) * 1/√(1-x²) = -x/√(1-x²)
Ovviamente sin(arcsin(x)) = x, quindi vedi che i due termini sono equivalenti.
Allo stesso modo, anche sin(arccos(x)) = √(1-x²)

NameNick321

Giulio_M cos(arcsin(x)) = √(1-x2), lo verifichi tramite le derivate!
-sin(arcsin(x)) * 1/√(1-x2) = -x/√(1-x2)

Si vabbè col panico da esame vado a pensare queste cose, ma mai al mondo 😭😭😭

Comunque grazie