Integrale per sostituzione, é giusto?

NameNick321

Giulio_M

NameNick321 ma ti conveniva applicare semplicemente il metodo per parti, in questo caso molto più immediato!

f = x quindi f' = 1
g' = 1/√(2x+1) quindi g = √(2x+1)

Quindi risulta x√(2x+1) - ∫ √(2x+1)dx = x√(2x+1) - (1/3)(2x+1)^3/2 + C
Eventualmente puoi accorpare i termini in altro modo, comunque il risultato è questo. Credo tu abbia fatto un po' di confusione con la sostituzione (oltre al fatto che non serviva), dovevi arrivare semmai a dx e dt, ad esempio nel tuo caso:
t = √(2x+1) quindi x = (t²-1)/2 quindi dx = 2t dt (questa parte ti manca)

NameNick321

@Giulio_M @zeunig356

NameNick321

Scusate, dal terzo passaggio ho fatto cosí

NameNick321

Giulio_M l’esercizio chiedeva appositamente di risolverlo con il metodo per sostituzione, non l’ho deciso io

Giulio_M x = (t2-1)/2 quindi dx = 2t dt

Ma io invece di scrivere dx = 2t dt

Ho scritto che x = 1/2 * t² -1/2 quindi facendo la derivata viene t dt. Perché 2t dt?

Giulio_M

NameNick321 ti sfuggono i tuoi errori, ma non i miei 😅 sì, ho sbagliato a scrivere, mi ero perso l' 1/2 quindi confermo che è giusto tdt e non 2tdt.
In ogni caso, come detto era molto più comodo applicare il metodo per parti.

NameNick321

Giulio_M

Ma quindi il mio risultato finale della seconda foto che ho messo é sbagliato? Non ho applicato per parti perché nella consegna c’era espressamente scritto di usare la sostituzione

Giulio_M

NameNick321 Non ho applicato per parti perché nella consegna c’era espressamente scritto di usare la sostituzione

Ah ok, ho capito.
Risulta corretto, anche se scritto così sembra diverso, è equivalente. Infatti se fai la derivata del tuo risultato e anche del mio, entrambi ottengono la funzione integranda, quindi confermo che è corretto.

NameNick321

Giulio_M

Ma invece come si risolve [cos(2x)] / [4 cos² (x)] dx in modo da far venire 1/2 x - 1/4 tanx + c ?

Giulio_M

NameNick321 è semplice se sfrutti le proprietà trigonometriche:
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x)-1
Quindi: ∫ (2cos²(x)-1)/(4cos²(x)) dx = ∫ (1/2 - 1/(4cos²(x))) dx = x/2 - tan(x)/4 + C

NameNick321

Giulio_M l’avevo scritto come 1-2sen² (x) quindi non riuscivo