Come si risolve

NameNick321

Integrale indefinito di radice quadrata di 4-x² dx

zeunig356

per sostituzione ponendo x = 2 sin t

NameNick321

Quindi radice di 4 - 4 sin² (t) e poi? Seno iperbolico??

Giulio_M

NameNick321 ma no, dai che è semplice!
x = 2sin(t) quindi dx = 2cos(t) dt
Sostituisci nell'integrale e ottieni:
∫ √(4-4sin²(t)) 2cos(t) dt = ∫ 4√(1-sin²(t) cos(t) dt = 4∫cos²(t)dt
Puoi applicare relazioni trigonometriche oppure due volte il metodo per parti, easy. Anzi, basta una volta sola poiché nell'integrale che ti risulta riscrivi sin²(t) come 1- cos²(t). Quindi risulta:
4 * (1/2) * (cos(t)sin(t) + t) = sin(2t) + 2t + C
Ritornando ad x, con la sostituzione fatta ottieni:
x * cos(arcsin(x/2)) + arcsin(x/2) + C

Scritta così è un po' complicata, comunque è anche uguale a (1/2) x √(4-x²) + 2arcsin(x/2) + C
Edit. ho aggiunto dopo la x che moltiplica, per una svista me l'ero dimenticata.

NameNick321

Giulio_M (1/2) √(4-x2) + 2arcsin(x/2) + C

Dovrebbe esserci una X che moltiplica 1/2 o almeno nel risultato é cosí

Giulio_M

NameNick321 sorry, sono disattento! 🤦 correggo quanto detto prima:

Giulio_M è anche uguale a (1/2) x √(4-x2) + 2arcsin(x/2) + C

Quindi mi ero dimenticato di riportare la x.
Quando dico invece che l'integrale può avere una risoluzione diversa, significa che due risultati se hanno derivata uguale alla funzione integranda, sono comunque corretti.

Giulio_M

NameNick321 sì, esatto, come infatti il primo risultato che ho riportato (come l'ho risolto io). Il secondo risultato invece da Youmath, risoluzione integrali indefiniti online, mi ha dato questo risultato.

NameNick321

Giulio_M ok ma come si arriva al fatto che i due risultati sono uguali? Io vorrei arrivare al risultato proposto nella soluzione cioè (1/2) x √(4-x2) + 2arcsin(x/2) + C

NameNick321

Giulio_M si ma non ho capito quale procedimento devo fare per ottenere (1/2) x √(4-x2) + 2arcsin(x/2) + C