Qual è il legame tra gli integrali e coseno e seno iperbolici?

NameNick321

Conoscerli é così essenziale per risolvere gli integrali? Il mio professore di analisi ha fatto intendere così. Ma io so solo che si scrivono cosh e sinh ma non so come vanno usati né a cosa servono per gli integrali. Cosa bisogna sapere e in che modo aiutano con gli integrali? Magari anche con qualche esempio! Ci sono formule da sapere, manipolazioni di qualche tipo? Inoltre servono per tutti i tipi di integrali, sia indefiniti che impropri che propri?

@zeunig356 @Giulio_M

Furgone

NameNick321 mi pare che c'è un legame tra coseno e copene

Giulio_M

NameNick321 non credo di averli (quasi) mai usati, tanto è che le funzioni iperboliche le ricordo a stento.
Comunque sia, sono definiti in questo modo:

sinh(x) = (1/2)(e^x - e^-x)
cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x)
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)
vale la relazione cosh²(x)- sinh²(x) = 1

Negli integrali, potrebbero risultare comode con radici, quindi sostituzione, anche se non indispensabile. Un esempio è questo: √(x² + c²)dx.
Ad esempio sostituisci x = c * sinh(t) quindi poi arrivi dalle relazioni precedenti ad un integrale elementare (cosh(t) infatti lo riscrivi come semplice somma di due esponenziali, (1/2)(e^t+e^-t).

Quindi il concetto è questo, per alcune situazioni può essere comodo sfruttare queste sostituzioni. In alternativa puoi sempre sostituire le funzioni trigonometriche (quindi seno e coseno), in quel caso sfruttando la relazione sin²(x)+cos²(x)=1, anche qui magari con un po' di passaggi in più, nel caso es. di una somma/differenza di quadrati sotto radice, arrivi alla soluzione.

NameNick321 servono per tutti i tipi di integrali, sia indefiniti che impropri che propri?

Beh, di per sé sì. Ti capiterà più spesso negli integrali indefiniti (definiti=propri oppure impropri, salvo tecniche numeriche approssimate si tratta comunque di risolvere l'integrale in modo indefinito e poi applicare gli estremi, finiti o infiniti che siano, nel secondo caso semplicemente si tratta di un limite), quindi queste formule (anche se ripeto, magari le usi poco e nemmeno ti servono realmente) possono essere utili per la fase di risoluzione indefinita di un integrale.

NameNick321

Giulio_M mi hanno detto che li mette quasi sempre nelle tracce d’esame senh e cosh negli esercizi con gli integrali. Io personalmente non ci ho capito molto in generale.

NameNick321

Giulio_M √(x2 + c2)dx.

Ma perché + c² ? Sarebbe la costante arbitraria? Ancora prima di risolvere l’ integrale?!

Giulio_M

NameNick321 un esempio che mi sono inventato:
integrale con seno iperbolico
L'integrale di partenza l'ho scritto in alto a destra, a matita. Per il resto, spero si capisca (quindi sostituzione). Alla fine, per la sostituzione che ho fatto in partenza, non sapevo come tornare da t ad x (senza complicare esplicitando funzioni inverse, comunque sia se verifichi anche all'interno dell'integrale le sostituzioni (le proprietà di seno e coseno iperbolico, elencate sopra Giulio_M, vedi che è verificato).
Diciamo, l'esempio risolutivo è questo, per rendere l'idea, poi magari trovi esempi più indicati per usare questo tipo di sostituzione.

Giulio_M

NameNick321 no no, in questo caso C è una costante a caso, all'interno dell'integrale (per dire x²+1 oppure x²+16, qualsiasi numero insomma). Quindi nel mio esempio è all'interno dell'integrale, non ha a che fare con la costante (il classico +C) che aggiungi alla risoluzione dell'integrale indefinito.

NameNick321

Giulio_M potresti farmi un esempio di esercizio vero e proprio con devi valori, con la risoluzione tramite seno/ coseno iperbolico ?

NameNick321

Giulio_M perché nel primo passaggio (dal primo al secondo rigo) 1 * [ e^t - e^-t] diventa

1 * [ e^t + e^-t]

Giulio_M

NameNick321 beh scusa, fai la derivata e hai quindi un doppio segno meno. Per passare da dx a dt
x= e^t - e^-t
Faccio la derivata: dx = e^t - (-e^-t) dt = e^t + e^-t dt

NameNick321

Giulio_M ah ma é per sostituzione , non l’avevo capito