Limite notevole esiste?

NameNick321

Stavo vedendo lo svolgimento di un limite e c’è scritto che è stato usato il limite notevole lim t->0 di (t -sint) / t³ = 1/6

Ma non trovo da nessuna parte questo limite notevole. Esiste una formula piú generale che comprende anche esponenti diversi da t³ tipo t⁴ ? Questo limite non l’ho mai visto.

Giulio_M

NameNick321 beh, nel dubbio fai sempre lo sviluppo in serie di Taylor, il modo da avere poi una forma polinomiale. Al primo ordine non è sufficiente, quindi arrivi al terzo ordine (il secondo ordine per la funzione seno è zero, dato che d"=-sin(0)=0).

Non è di per sé un limite notevole, appunto come sin(x)/x =1 per x-->0, se ci pensi però, il cosiddetto "limite notevole" anche qui deriva dal fatto che sin(x) ≈ x + O(x²)

Quindi sin(t) ≈ t - t³/6 + O(t⁴)
Risulta: (t-(t-t³/6))/t³ = (t³/6)/t³ = 1/6

zeunig356

E' lo sviluppo di MacLaurin del seno. Senza le derivate ci dovrei pensare.

NameNick321

zeunig356 seeeeh vabbè e se capita nel compito? Quell’esercizio era proprio di un compito d’esame dell’anno scorso… quindi potrebbe rimettere qualcosa di simile, ma non ci ha mai detto come fare. Vabbè lascia stare che è meglio. Con gli esercizi con i limiti per ora ho finito… quello che mi capiterà all’esame proverò a fare… se faró giusto l’esercizio del limite ben venga, sennó pazienza. Adesso volevo leggermi qualcosa di teoria… perché non mi va di lasciare tutta la parte di teoria all’esame in bianco… peró é troppa la teoria… provo a imparare qualche definizione sperando mi capiti quella

NameNick321

Giulio_M non ho la piu pallida idea di come si faccia lo sviluppo in serie di Taylor

Giulio_M

NameNick321 va beh magari dovrete ancora trattarlo, ma è parte di analisi 1. Appena lo studi, tanta roba, i limiti li risolvi così. In pratica riesci a sostituire qualunque funzione -derivabile nell'intorno del punto es. x=0 - con una forma polinomiale (seno, coseno, esponenziali...).
Beh, tra un po' di sicuro lo studiate e poi lo applicherai in tutti i limiti un po' "difficili".

NameNick321

Giulio_M li ha spiegati, veramente. Ma male e in forse un’ora scarsa di lezione. Non ho capito nulla e nelle soluzioni dei compiti degli anni passati vedo che quasi sempre li svolge senza fare questi sviluppi, quindi ho lasciato stare totalmente quell’argomento per non mettere ancora piu confusione in testa. Se mi va bene mi capitera un limite che non necessita di taylor. Ma da quello che ho capito dovró comunque studiarli perché sono fondamentali per le serie. Poi ci penseró

Giulio_M

NameNick321 sì, ti consiglio comunque di studiarlo dato che spesso torna molto comodo e il concetto in sé non è difficile:
Spiegato in modo semplice, ad esempio hai f(x)=sin(x)
f(x) - qualsiasi f(x) che sia derivabile - la puoi approssimare nell'intorno di x=x0 in modo polinomiale, come:
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + O(x²), nel caso ci fermassimo al primo ordine (quindi O(x²) indica l'errore, termini di ordine superiore).
Nel caso f(x)=sin(x), per x0=0 quindi hai:
f(x) ≈ sin(0) + cos(0)(x-0) + O(x²) --> f(x) ≈ x + O(x²) --> da qui vedi infatti sin(x)/x ≈ 1 quando x≈0