Come sapere se una funzione é invertibile e come calcolare l’inversa?

NameNick321

Per essere invertibile credo debba essere biiettiva. Quindi devo verificare che é iniettiva e poi che é suriettiva e devono valere entrambe.

Intanto calcolerei il dominio e forse per essere invertibile deve essere domf = R ??? Non ne sono sicuro.

Poi per l’iniettivitá credo che deve essere monotona (oppure strettamente monotona???) quindi calcolerei ma derivata prima e per essere f(x) iniettiva allora f’(x) deve essere sempre positivo o sempre negativo, ovvero funzione sempre crescente o sempre decrescente? Se ad esempio prima cresce e poi decresce allora non puó essere iniettiva, giusto?

E per la suriettuvitá so che Imf=codominio. Ma come lo verifico?

E poi una volta appurato che é biiettiva e quindi invertibile come calcolo la funzione inversa?

Purtroppo al momento non ho a portata di mano esercizi con funzioni su cui bisogna fare questo. Ma in generale qual é il procedimento da seguire?

NameNick321

NameNick321 @zeunig356 @Giulio_M

Giulio_M

NameNick321 sì, è invertibile se è biettiva, biunivoca (sia suriettiva che iniettiva), questo come definizione. Dal punto di vista geometrico, significa che non interseca una retta parallela all'asse y (quindi verticale) più di una volta.
Il calcolo dell'inversa lo fai analiticamente, se è in forma esplicita ovvero da y=f(x) hai modo di scrivere x=f(y), ad esempio y=e^x, x=ln|y|, restrizioni di dominio a parte, in questo caso riesci (biettiva all'interno del dominio... Va beh ho scelto un esempio a caso per rendere l'idea di funzione invertibile). Nel caso non si riesca a fare tale operazione, è richiesto un algoritmo iterativo, per risolvere una forma implicita, calcolo degli zeri di una funzione, quindi bisezione o Netwton-Raphson. Esempio a caso, y=x+sin(x), non riesci a scriverlo nella forma x=... Quindi fissato un valore y, trovi f()=y-x-sin(x)=0, in modo iterativo determini il valore di x dato y fissato (quindi procedi in questo modo, per punti e poi iterazioni).

NameNick321

Giulio_M ecco adesso mi ritrovo un esercizio a portata di mano. Parliamo di analisi 1.

Sia f: ]-1; +inf[ —> ]0; +inf[ la funzione con legge

f(x) = 1 / (1+ x⁵) + 1 / ( radice cubica di (1+x⁷ ) ) + e^-4x

(1) Dimostra che f é invertibile

(2) sia f^-1 l’inversa prova che é derivabile in y0= 3 e calcolare (f^-1)‘ (3)

zeunig356

Per essere invertibile deve essere iniettiva. La stretta crescenza o decrescenza é una condizione sufficiente.

Ad esempio y = 4x + ln x é somma di due funzioni strettamente crescenti => é strettamente crescente => é iniettiva e invertibile nel suo dominio, anche se l'inversa non é esplicitabile.

Nota : l'inversa di una funzione composta é la composta delle inverse considerate in ordine inverso.

NameNick321

la dimostrazione che é invertibile va fatta
carta e penna e non ad esempio mettendo le funzioni in un sito che traccia in automatico il grafico e quindi vedere in questo modo che é suriettiva e quindi invertibile. É un compito di esame, va dimostrato mostrando l'iniettivita e la suriettivita con i calcoli. Non tracciando grafici.