problemino della spiaggia

Bobi

pierino va in spiaggia con secchiello e paletta
subito mette acqua del mare a temperatura t1 nel secchiello con capacita' c1, e con superficie s1 in una spiaggia la cui la temperatura media ambiente e' t2
calcola a quale temperatura arriva l'acqua e dopo quanto tempo si stabilizza a quella temperatura

user7733

Bobi 40 gradi sotto il sole

Giulio_M

Bobi sì allora, diciamo che mancherebbero un po' di dati, da definire 😁

qui il fenomeno che avviene è la conduzione, tra due fluidi a contatto
diciamo che è in quiete quindi semplifichiamo escludendo moti convettivi e anche irraggiamento termico (le temperature in gioco sono basse perché questo fenomeno diventi rilevante)
S1 è la superficie di scambio acqua/aria, supponiamo che la superficie del secchiello sia sufficientemente isolata (molto più della superficie aperta, di scambio termico)
equazione del calore (equazione di diffusione):
$equazione di diffusione del calore$
coefficiente di diffusività termica [m²/s]:
$diffusività termica$

Quindi: come si risolve?

soluzione analitica: utopia pura 😅 andresti in realtà ad incasinarti, vista la geometria, viste le condizioni al contorno... Non è semplicemente la soluzione di tipo gaussiano, diffusione da un punto centrale e dominio idealmente infinito da non influenzare questo andamento diffusivo
soluzione numerica: eh già, a seconda della strada che poi vuoi seguire, diciamo in generale che suddividi, approssimi la geometria tridimensionale del secchiello in una griglia (regolare, cubi/parallelepipedi per semplicità), condizioni iniziali sono le temperature di ogni cella, T1 ad eccezione di T2 per le celle di bordo (che indicano la fine del secchiello e quindi l'ambiente); approssimi l'equazione differenziale da continua a discreta, diventa quindi un'equazione algebrica e ad ogni step temporale valuti per ogni cella del dominio Tⁿ⁺¹=f(...), funzione dei valori delle altre celle adiacenti (la formula cambia a seconda del metodo numerico scelto); ovviamente la chiave è sapere un valore della diffusività termica aria/acqua (un valore medio costante oppure anche funzione della differenza di temperatura e quindi calcolato ad ogni step); diciamo, non è una soluzione semplicissima e immediata, ma formalmente è questo che ci vuole! 🙂

Bobi

Giulio_M ti tengo sempre impegnato !
io ho fatto anche un doppio tensore del secchiello, calore in entrata attraverso 3 lat e calore in uscita, sempre attraverso tre lati
all'interno del secchiello ci sono derivate parziali di calore/tempo
ho scoperto che il secchiello non si riscalda mai
(ma sicuramente ci sono errori)

Giulio_M

Bobi sempre interessanti questi problemi! 🙂
Mah, no in ogni caso hai come partenza un'equazione di diffusione quindi, a parte l'esempio di discretizzazione numerica (differenze finite, elementi finiti che sia), sicuramente più generale e complesso, potresti volendo fare una semplificazione (chiaro che è una semplificazione!!) considerando questo:

scambio termico solo nell'interfaccia acqua-aria
studi solo la coordinata z, diciamo quindi la verticale, l'interfaccia aria-acqua
hai un certo valore per la diffusività termica [m²/s]
in questo caso più semplice magari puoi anche trovare una soluzione analitica e non numerica; dalla diffusività termica, trovi il rapporto con la superficie di scambio (espressa in m² e quindi confrontabile con la grandezza m²/s) e quindi nell'equazione vedi in pratica quanto incide (se la superficie fosse 0,1 m² è "come se" avessimo come effetto una diffusività pari ad un decimo... Caso limite superficie di scambio zero infatti non avresti diffusione); va beh, molto semplificato ma rende l'idea
quindi ad ogni step temporale avresti trovato ad esempio il valore vicino all'interfaccia (da T1 diventa... Un nuovo valore, oltre resta sempre T2, ambiente indisturbato); se vuoi puoi calcolare la temperatura media dell'acqua ad ogni step temporale come proporzione fra T1 e volume totale (C1) e temperatura aggiornata dello strato superficiale (es. una cella di un certo spessore) per tale spessore (che moltiplicato per l'area è un volume) rispetto al volume totale; poi la nuova media ogni volta si aggiorna, poco o tanto (diciamo che il fenomeno è comunque decrescente, la massima variazione la hai quando è massimo il gradiente di temperatura); non so se l'ho spiegato in modo chiaro, ma era un'altra idea 😅

Bobi

Giulio_M problemi di questo tipo li trovo anche nel riscaldamento degli stadi a transistori, qui e' importante contenere il calore per evitare una deriva termica galoppante (quando "si vede fumo")
(le derive termiche spesso e facilmente vanno fuori controllo)