NameNick321
Assegnata l'equazione polinomiale:
z³(z - i) - 1 - 2z² - z⁴ = 0
come prima cosa sviluppiamo i prodotti:
z⁴ - iz³ - 1 - 2z² - z⁴ = 0
semplifichiamo i monomi simili:
-iz³ - 2z² - 1 = 0
quindi, moltiplichiamo ambo i membri per "i":
z³ - 2iz² - i = 0.
Ciò fatto, è facile notare che:
z = i
verifica l'equazione, quindi fattorizziamo:
(z - i)(z² - iz + 1) = 0
da cui le tre radici:
z₁ = i
z₂ = (1-√5)i/2
z₃ = (1+√5)i/2
Assegnata l'equazione polinomiale:
iz⁶ - 3z³ + 4i = 0
moltiplichiamo ambo i membri per "-i":
z⁶ + 3iz³ + 4 = 0
quindi, poniamo la sostituzione t = z³:
t² + 3it + 4 = 0
da cui le due radici:
t₁ = i
t₂ = -4i
Ciò fatto, calcoliamo le radici terze di "i":
z₁ = ³√1·(cos((π/2 + 2·1·π)/3) + i·sin((π/2 + 2·1·π)/3)) = -√3/2 + i/2
z₂ = ³√1·(cos((π/2 + 2·2·π)/3) + i·sin((π/2 + 2·2·π)/3)) = -i
z₃ = ³√1·(cos((π/2 + 2·3·π)/3) + i·sin((π/2 + 2·3·π)/3)) = √3/2 + i/2
e analogamente calcoliamo le radici terze di "-4i":
z₄ = ³√4·(cos((-π/2 + 2·1·π)/3) + i·sin((-π/2 + 2·1·π)/3)) = ³√4·i
z₅ = ³√4·(cos((-π/2 + 2·2·π)/3) + i·sin((-π/2 + 2·2·π)/3)) = -³√4·(√3/2 + i/2)
z₆ = ³√4·(cos((-π/2 + 2·3·π)/3) + i·sin((-π/2 + 2·3·π)/3)) = ³√4·(√3/2 - i/2)
Buono studio, ciao!
