Dubbio numero complesso?

NameNick321

Scrivere z= radice di 2 /2 * e (-i pigreco/4)

E scrivere z= radice di 2 /2 * e (i 7pigreco/4) rappresenta lo stesso identico numero complesso oppure sono due numeri complessi diversi che però “coincidono”, non so come spiegarlo, nel senso ha a che fare con la periodicitá o qualcosa di simile? Un po come 2 pi greco e 4 pigreco, il punto nella circonferenza é sempre quello con stesso seno e coseno peró sono angoli diversi, 360 gradi e 720°… vale lo stesso per i due numeri complessi che ho scritto prima oppure no, sono lo stesso identico?

user6724

NameNick321 Sono identici dato che hanno stesso modulo e stessa fase (o argomento). Sono che, nel primo caso, si ha una rotazione oraria di 45 gradi a partire dall'asse x, mentre nell'altro caso si ha una rotazione di 315 gradi in senso antiorario a partire dall'asse x. Cambia la convenzione con cui sono stati indicati i due numeri complessi, ma in un diagramma di Argand i due numeri coincidono.

Giulio_M

NameNick321 oltre a quanto già giustamente detto da
user6724 ("diagramma di Argand", tra l'altro ricordavo solo il nome "piano complesso" 😅), forse ti torna utile pensare all'equivalenza fra la forma esponenziale e quella trigonometrica, per i numeri complessi. Ovvero:
e^i*theta = cos(theta) + i * sin(theta)
e^-i*theta = cos(theta) - i * sin(theta)
In questa forma suddividi parte reale e parte immaginaria.
Dopodichè conosci la periodicità di seno e coseno (2kπ) e quindi è semplice verificare l'uguaglianza.

zeunig356

Sì. Infatti z2 = z1 * e^{i 2 k pi} = z1 * 1 = z1

NameNick321

zeunig356

Si che cosa? Si che sono totalmente identici oppure si che sono un caso come 360º e 720°? Quale dei due si?

user6724

Giulio_M Grazie mille. Certo, hai ragione, con la forma trigonometrica, come l'hai indicata tu nell'immagine qui sopra, si ottengono due numeri coincidenti, dato che nella seconda formula il seno risulta essere negativo, ma il segno della parte immaginaria diventa positivo moltiplicando per -1. Per quanto riguarda i diagrammi di Argand, ho studiato su libri di Meccanica Razionale degli anni '90, pur essendomi iscritto all'uni nei primi anni del 2000. 😅 Lo so, sono un vecchiardo. Ah ah