Mi é stato dato come compito di dimostrare (analisi 1) che se A è un insieme limitato inferiormente chiuso in R e diverso da quello vuoto allora per ogni epsilon >0 esiste un ā che appartiene all’insieme A tale che ā è < ( l + epsilon) con l = inf A (inf A inteso come estremi inferiore) appartenente a R con l <= a per ogni a appartenente ad A. Dimostrare che devono valere TUTTE queste affermazioni, considerando che A è un insieme limitato inferiormente, come definito prima.
Siccome non so usare teoremi e definizioni allora ho fatto esempi per dimostrare che é vero.
Ho scritto:
Poniamo A un insieme limitato inferiormente, come richiesto, con A = ] 8 ; + inf[
infA = 8
Poniamo l = inf A appartenente a R.
Dobbiamo dimostrare che
1) l<=a per ogni a appartenente ad A —> é vero, infatti 8<= 8 e in particolare 8=8 (primo membro: l=8, valore fisso, secondo membro un qualsiasi valore “a” che appartiene all’insieme A= ]8; +inf[, altri esempi 8<=9 con 9 che appartiene ad A ed é vero, 8<= 30 con 30 che appartiene ad A, ed é vero … e cosí via per ogni a appartenente ad A é verificato il punto 1)
Dobbiamo infine mostrare che 2)
Per ogni epsilon > 0 esiste una ā appartenente ad A tale che ā è < l + epsilon.
Fissiamo epsilon = 1 e ci chiediamo se esiste una ā appartenente all’insieme A tale che è verificata la disuguaglianza ā < l + epsilon
l+epsilon nel nostro caso é uguale a 8+1=9
Esiste una ā<9 che appartiene ad A? Sì, come ad esempio 8,9 , 8,8 , 8,1 e ciò vale per ogni epsilon >0 e non solo per epsilon fissata ad 1, proprio come richiesto nella dimostrazione, infatti ponendo ad esempio epsilon = 50, 8,1=ā é < 9+50 con 9+50=l + epsilon) infatti 8,1<59.
Tuttavia: poniamo ā = 15 appartenente ad A ed e epsilon = 1 allora 15< 8 +1 15<9 é FALSA.
—-> va bene perché la dimostrazione ci chiede che “ESISTE” una ā appartenente ad A tale che ā< l + epsilon e non che “PER OGNI” ā appartenente ad A […]
DUNQUE
Sono abbastanza sicuro che non é assolutamente valida come dimostrazione perché é un esempio e non ho usato definizioni ecc ma se in un ipotetico esame di analisi scrivessi questo esempio anziché lasciare in bianco potrei prendere qualche punto? So che dipende dal prof ma spero che vede lo sforzo nel ragionare e invece di fare 0 punti mi darebbe qualcosa…
@zeunig356 @Giulio_M sapete invece come si fa la dimostrazione corretta e rigorosa con tutti i passaggi, ragionamenti del caso ecc? Io non sono affatto in grado…
