Dubbi su valore atteso, quadratico medio e varianza

NameNick321

Se io ho una variabile aleatoria X continua e conosco gli indici caratteristici sopra scritti

E poi ho Y= 2X + 5
quindi un’altra variabile aleatoria che dipende dalla precedente X

Poi trovare ad esempio il valore atteso facendo
2* valore atteso di X + 5 direttamente quindi senza trovarmi la pdf di Y e senza farmi i relativi integrali ecc ?

Se si, si può fare perché è una relazione lineare oppure è una cosa che si può fare sempre?

@zeunig356 @Giulio_M

zeunig356

Perché é una funzione lineare

Però in generale E [ a X + b ] = a E[X] + b

var [ a X + b ] = var [ a X ] = a² var X

NameNick321

zeunig356 perché nella varianza scompare la b?? L integrale di una costante non è 0

zeunig356

Perché b é una costante e quindi indipendente da X. La varianza é allora la somma delle varianze e la varianza di b é 0.

Oppure puoi verificarlo con la definizione

cov [ a X, b ] = E [ aX * b ] - E [ aX ] * E [ b ] = a b E [ X ] - a E [ X ] * b = 0

e quindi var [ a X + b ] = var [ a X ] + var [ b ] + 2 cov [ a X, b ] = a² var X + 0 + 0 = a² var X

NameNick321

zeunig356 scusa ma non dovrebbe essere

Varianza di Y = valore quadratico medio di Y - il quadrato del valore atteso di Y
Cioè Var Y = E(Y²) - E² (Y)
E(Y) = E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = η
E² (Y) = (η)²
E(Y²) = E(4X² + 20X + 25) = m²

Dunque Var Y = m² - (η)² = σ

Cioè quindi che dipende da b che nel nostro caso è 5?