ancora problemi differenziali, GNIFF

Bobi

una vasca e' piena d'acqua fino al livello h
viene aperto un buco sul fondo che scarica un flusso proporzionale al livello
come si calcola il tempo di svuotamento ?

zeunig356

y(0) = h e y(T) = 0

Prima parte.

-dV/dt = k h

il flusso, o portata, é S v = S dy/dt essendo la sezione uniforme in simmetria cilindrica

k é una costante sperimentale che si deduce facendo misure di tempo e di volume

Quindi - S dy/dt = k y

dy/y = - k/S dt

ln |y| = - k t/S + C

y = C e^{-k t/S}

h = C*e⁰ => C = h

y(t) = h e^{- k t/S}

Ora il recipiente non si svuota mai del tutto per tempi finiti

ma si può ritenere svuotato quando y(t) < h/1000

e^{- k T/S} = 1/1000

-k T/S = - 3 ln 10

T = 3 S ln 10/k

é una buona stima, oppure essendo 3 ln 10 ~ 6.90

T = 7S/k

Bobi

zeunig356
io facevo l'integrale in questo modo
int(dy/y ) = log(y/c)
ma penso che e' lo stesso

zeunig356

Bobi

E' corretto perché ln (y/C) = ln y - ln C = ln y + C

essendo C una costante arbitraria e y sempre positivo.

L'IA mi ha confermato ( direttamente ) che l'approccio é corretto e ( indirettamente ) che lo sono le approssimazioni.

Nel seguito potrei scrivere un ulteriore post riguardo a un modo semplice per ricavare la costante k e il risultato che si

ottiene in conseguenza.

zeunig356

Seconda parte : stima di k e suo utilizzo per la stima di T

Cronometrando lo svuotamento parziale fino alla frazione f del volume e quindi dell'altezza
( il tempo misurato é Tf )

h e^{- k Tf/S} = f h

e^{- k Tf/S} = f

-k Tf/S = ln f

k = -S ln(f)/Tf é una stima di k

Sostituendo si trae dunque

T = -3 S ln 10 * Tf /( S ln f ) = - 3 Tf/log f

Ad esempio, se si fissa f = 0.99 ( si cronometra il tempo per scendere al 99% dell'altezza iniziale )

T ~ -3/log (0.99) * Tf = 687.32 Tf

Bobi

zeunig356
ricopiato e aggiunto, grazie