Allora io ho una serie di potenze con raggio di convergenza r.
Ipotizzo r compreso tra 0 e +inf esclusi quindi 0<r<+inf
Per il THM del raggio la serie converge ASSOLUTAMENTE in ]x0-r; x0+r[ inoltre NON c’è alcun tipo di convergenza per ]-inf; x0-r[ e neppure per ]x0+r; +inf[
Inoltre converge TOTALMENTE in [x0-k;x0+k] con 0<r<k
È giusto fin qui?
Ipotizziamo che x0 = 0 e r=1
Allora converge in ]-1;1[ ASSOLUTAMENTE. Non c’è nessun tipo di convergenza in ]-inf; -1[ così come non c’è in ]1;+inf[
Ma negli esercizi si richiude la convergenza puntuale ed uniforme. Non assoluta né totale.
Dato che assoluta implica puntuale allora converge puntualmente in ]-1;1[
Ma potrebbe esserci convergenza puntuale agli estremi x= -1 e x=1
Quindi sostituisco i valori alle serie di partenza e studio la solita convergenza delle serie di analisi 1, giusto?
Mettiamo caso che alla fine c’è convergenza puntuale in ]-1;1]
Inoltre converge totalmente in [-k;k] con 0<k<+inf
Totale implica unfiorme quindi converge uniformemente in [-k;k] sempre con 0<r<k
Ma potrebbe convergere uniformemente per altri valori, anche… dato che uniforme non implica totale. (Non è un se e solo se)
Quindi:
È vero che per il thm di Abel,
Se converge in x0+r, come in questo caso che abbiamo detto che converge in x=1 quindi in x0+r, (dato che abbiamo ipotizzato x0=0 e r=1, quindi x0+r=1)
Allora si ha convergenza UNIFORME in [x0-k;x0+r] con 0<k<r??? Questo è vero sempre?
Se invece c’è convergenza in x0-r allora la uniforme è in [x0-r;x0+k]
E se c’è convergenza in entrambi gli estremi x0-r e x0+r allora la uniforme è in tutto [x0-r;x0+r] ovvero uniforme e puntuale coincidono? A me puzza questa cosa. Vorrei capire se sono tutte giuste queste affermazioni.
@Giulio_M @Matematico_risponde @zeunig356
