n=1 +inf di xn / n
Studia convergenza puntuale ed UNIFORME sfruttando convergenza totale e assoluta
Innanzitutto an= 1/n
x0 = 0
lim n—>+inf di radice n-esima di | 1/n | = 1
l = 1 cioè l appartenente ad R con l ≠ 0 .
Il raggio è r = 1/ l = 1/1 = 1
Per il THM del RAGGIO
la serie converge assolutamente in ]x0 - r ; x0 + r[
cioè in ] 0-1 ; 0+1 [ cioè in ]-1;1[
L’Assoluta convergenza implica la puntuale quindi converge puntualmente in ]-1;1[
Ma puntuale non implica assoluta dunque potrebbe convergere puntualmente agli estremi -1 e +1
Se x = -1 la serie diventa (-1)n / n che per Leibniz converge.
se x = 1 si ottiene la serie armonica 1/n che diverge positivamente
Ricapitolando, c’è convergenza puntuale in [-1;1[
Sempre per il THM del RAGGIO, si ha che la serie converge TOTALMENTE in [-k;k] essendo 0<k< r cioe 0<k<1
La TOTALE implica la UNIFORME dunque converge uniformemente in [-k;k]
Ma l’uniforme non implica la totale quindi potrebbero esserci altri punti in cui c’è uniforme, ma non c’è totale e ovviamente devo cercare tra i punti in cui c’è puntuale dato che NO puntuale implica NO uniforme
A destra dello 0 credo sia ok, non ci sono punti “vuoti” perché k è compresa tra 0 e 1 esclusi. Se includessi l’1 non andrebbe bene perché in 1 incluso non c’è puntuale quindi non c’è uniforme.
Ma a sinistra c’è il problema del -1 perché nel -1 c’è puntuale quindi potrebbe esserci uniforme. Io ho soltanto provato che in -1 < - k < 0 c’è totale e quindi uniforme, ma non so che succede in -1 incluso perché lì non c’è totale ma potrebbe esserci UNIFORME.
COME PROVO SE NEL PUNTO -1 C’È O NON C’È LA CONVERGENZA UNIFORME?
@zeunig356 @Giulio_M
