Dubbio dimostrazione

NameNick321

Thm confronto funzioni divergenti.

Ok, allora per ipotesi della 1) lim per x che tende a x0 di f(x) = +inf

Ok e ha senso che f(x) > a perché è la definizione di funzione con l = +inf

Ma non capisco perché poi quando prende l’intorno secondo quindi I’’ allora automaticamente deduce che g(x) >= f(x)

In base a cosa? Non potrebbe essere minore? Cioè basta che prendi un intorno che è dato dall’ intersezione dei due di prima allora automaticamente la funzione nuova (cioè g) é maggiore o uguale a quella di prima (cioè f) ? Non credo sia così.

Ma non spiega perché g(x) >= f(x) >a
(Segnato in giallo)

Ok f(x) >a ciò la parte prima della disuguaglianza ok, ma il motivo preciso per cui vale certamente g(x) >= f(x) quale sarebbe? Credo manchino giustificazioni rigorose sui passaggi

Il fatto che g(x) tende a +inf è LA TESI, non l’ipotesi quindi non si può partire e dare per scontato che tende a +inf

@Giulio_M @zeunig356

Giulio_M

NameNick321 In base a cosa? Non potrebbe essere minore?

Beh ma da come l'ho capito io, è corretto così, ovvero: hai un certo intervallo in cui g > f e il punto x0 è dentro questo intervallo. Quindi se il limite per x-->x0 di f(x) è +infinito, il limite di g(x) sarà anch'esso +infinito dato che g>f quindi "maggiore di infinito" è sempre una quantità infinita.

Analogamente col segno meno, che avviene in senso ribaltato: se g(x) è -infinito, dato che g(x)>f(x) allora f(x) è ancora più piccolo, "minore di meno infinito" è sempre meno infinito.

Nella dimostrazione quando parla di un generico "a" esiste un intorno tale che f(x)>a e questo poiché f(x)-->+infinito (quindi maggiore di un qualunque "a" numero finito appartentente ad R). Allora dire g(x)>f(x)>a è abbastanza banale, nel senso che g(x)>f(x) per definizione data prima e f(x)>a perché +infinito è maggiore di un qualunque numero reale, finito.

NameNick321

Giulio_M
Ah ok, non ho totalmente guardato l’inizio del thm prima della dimostrazione in cui c’è scritto f(x) <= g(x) (e quindi g>f)

ma era così essenziale prendere l’intorno I’’ intersecato I e I’ ? Non si poteva prendere sempre lo stesso intorno I’ per cui vale quella cosa?

Giulio_M

NameNick321 credo che la definizione di I" segua un procedimento di induzione, vale a dire: se la legge vale per ogni k, vale per I, I', I", ... I^k.
Quindi non è essenziale, afferma comunque la possibilità di continuare a definire un sottointervallo che è intersezione dei precedenti. Quindi più in generale, I^k+2(x0) = I^k(x0) ∩ I^k+1(x0)

zeunig356

A me sembra che sia nell'ipotesi.

NameNick321

zeunig356 si avete ragione non so perché non l’ho guardata. Ma ad ogni modo è così essenziale prendere un intorno I’’ che interseca I e I’ affinché si arrivi alla conclusione. Lo stesso intorno I’ non va bene?

Annarita

Non hai nulla da dimostrare. Ci crediamo.

NameNick321

Giulio_M la proprietà la conosco, mi chiedevo solo se in questo caso fosse essenziale prendere questo ulteriore intorno o se il teorema vale anche se considero sempre lo stesso intorno perché tanto so già che al 100% se dovesse chiedermela mi scorderò di dover prendere quest’altro intorno, mi verrebbe in automatico da scrivere sempre lo stesso intorno di prima, quindi non vorrei che conti come errore

Giulio_M

NameNick321 credo che non sia necessaria, già la prima (quindi senza definire I"(x0)) dimostra f(x)>a.
Quindi il resto eventualmente è un aggiunta, un extra che eventualmente puoi dimostrare, ma se lo dimentichi non è un errore.